Question

5．已知點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)O在線段AB延長(zhǎng)線上，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn)．
（1）如圖，如果AP=2PB，PB=BO，求證：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常數(shù)，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AC：BC的值（結(jié)果用含m的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例可證；
（2）OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．

解答 （1）證明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴$\frac{AO}{PO}$=$\frac{PO}{BO}$=2，
∵PO=CO，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO；

（2）解：設(shè)OP=x，則OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，
∴x²=（x-1）（x+m），
∴x=$\frac{m}{m-1}$．
即OP=$\frac{m}{m-1}$，
∴OB=$\frac{1}{m-1}$，
∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，即$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OP}{OB}$，
∵OP=OC，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$．
設(shè)⊙O與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P，點(diǎn)Q不重合時(shí)，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OP}{OB}$=m．
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P或點(diǎn)Q重合時(shí)，可得$\frac{AC}{BC}$=m，
∴當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC：BC=m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，比例的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．