Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，在△EFC中，EF=FC，且∠BAC+∠EFC=180°，D是BE中點．求證：AD⊥DF．

Answer 1

分析 延長AD使得DH=AD，延長FE交AB于K，連接AF、HF、AE、BH、HE．只要證明△ACF≌△HFE即可解決問題．

解答 證明：延長AD使得DH=AD，延長FE交AB于K，連接AF、HF、AE、BH、HE．
∵BD=DE，AD=DH，
∴四邊形ABHE是平行四邊形，
∴AB=EH=AC，AB∥HE，
∴∠HEF=∠BKE，
∵∠BAC+∠EFC=180°，
∴∠AKC+∠ACF=180°，
∵∠BKE+∠AKF=180°，
∴∠BKE=∠ACF，
∴∠FEH=∠ACF，
在△ACF和△HFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FH}\\{∠ACF=∠FEH}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△HFE，
∴FA=FH，∵AD=DH，
∴DF⊥AD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．