Question

19．如圖在△ABC中，AD⊥BC于D點，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E，H分別在AB，AC上，BC=40cm，AD=30cm
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求正方形EFGH的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據EH∥BC即可證明．
（2）如圖設AD與EH交于點M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設正方形邊長為x，再利用△AEH∽△ABC，得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AO}{AD}$，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：
∵∠EFD=∠FEO=∠FDO=90°，
∴四邊形EFDO是矩形，
∴EF=DO，設正方形EFGH的邊長為x，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，
∴x=$\frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的邊長為$\frac{120}{7}$cm．

點評 本題考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的相似比對于高的比，學會用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．