Question

10．已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作⊙O的切線交BC于點E．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）若⊙O的半徑為5，cosB=$\frac{3}{5}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由AC是⊙O的直徑，得到CD⊥AB，根據等腰三角形的性質得到AD=BD，根據切線的性質即可得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠A=∠B，解直角三角形得到AC=10，于是得到結論．

解答 解：（1）連接OD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵AO=CO，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥BC；
（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵cosB=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∵⊙O的半徑為5，
∴AC=10，
∴AD=6，
∴AB=2AD=12．

點評 此題考查了切線的性質，等腰三角形的判定與性質，圓周角定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．