Question

11．如圖，一艘海上巡邏船在A地巡航，這時接到B地海上指揮中心緊急通知：在指揮中心北偏西60°向的C地，有一艘漁船遇險，要求馬上前去救援．此時C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B兩地之間的距離為16海里．求A、C兩地之間的距離．（保留根號）

Answer 1

分析 過點B作BD⊥CA交CA延長線于點D，根據題意可得∠ACB和∠ABC的度數，然后根據三角形外角定理求出∠DAB的度數，已知AB=12海里，可求出BD、AD的長度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的長度，繼而可求出A、C之間的距離．

解答 解：過點B作BD⊥CA交CA延長線于點D，
由題意得，∠ACB=60°-30°=30°，
∠ABC=75°-60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=16海里，∠DAB=45°，
∴BD=AD=ABcos45°=8$\sqrt{2}$（海里），
在Rt△CBD中，CD=$\frac{BD}{tan30°}$=8$\sqrt{6}$，
∴AC=（8$\sqrt{6}$-8$\sqrt{2}$）（海里），
答：A、C兩地之間的距離是8（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）海里．

點評 本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數的知識求解相關線段的長度，難度一般．