Question

5．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB、BC為邊向外作正方形ABDE、BCGF，連接DF，且S_{正方形ABDE}=7，S_{正方形BCGF}=3，則△DBF的面積等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過點D作DH⊥FB，交FB延長于點H，根據(jù)正方形的性質(zhì)易證△BHD≌△BCA，所以DH=AC，再由已知條件求出AC，BF的長，即可求出△DBF的面積．

解答 解：過點D作DH⊥FB，
∵以AB、BC為邊向外作正方形ABDE、BCGF，
∴∠DBH+∠ABH=90°，∠ABC+∠ABH=90°，BD=AB，
∴∠ABC=∠DBH，
∵∠DHB=∠ACB=90°，
∴在△BHD和△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHB=∠ACB=90°}\\{∠DBH=∠ABC}\\{BD=AB}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△BCA（AAS），
∴DH=AC，
∵S_{正方形ABDE}=7，S_{正方形BCGF}=3，
∴AB²=7，BC²=3，
∴AC²=4，BC=BF=$\sqrt{3}$，
∴AC=BH=2，
∴△DBF的面積=$\frac{1}{2}$BF•DH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了正方形的性質(zhì)以及面積的計算，本題中正確證明△BHD≌△BCA解題的關(guān)鍵．