Question

13．先將一矩形ABCD置于直角坐標系中（AB=4，BC=3），使點A與坐標系中原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖1），再將此矩形在坐標平面內按逆時針方向繞原點旋轉30°（如圖2），則圖2中點C的坐標為（$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$）．

Answer 1

分析 根據旋轉的性質，首先得出OM，DM的長，進而求出ON，NC的長即可得出答案．

解答 解：∵AB=4，BC=3，
∴圖1中點C的坐標為（4，3），
在圖2中，設CD與y軸交于點M，作CN⊥y軸于點N，那么∠DOM=30°，OD=3，
∴DM=3•tan30°=$\sqrt{3}$，OM=3÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
那么CM=4-$\sqrt{3}$，易知∠NCM=30°，
∴MN=CM•sin30°=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}$，CN=CM•cos30°=$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，
則ON=OM+MN=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$，
∴圖2中C點的坐標為：（$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$）．
故答案為：（$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$）．

點評 此題考查了矩形的性質以及旋轉問題，關鍵是根據旋轉前后對應角的度數不變，對應線段的長度不變，注意構造直角三角形求解．