Question

2．一次函數(shù)y=x-1的圖象與y軸交于A點，與y=-2x+5的圖象交于B點
（1）求點A、點B的坐標；
（2）求這兩個函數(shù)圖象與x軸圍成的圖形的面積；
（3）設P是y軸上一個動點，當△ABP是直角三角形時，直接寫出P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)y=x-1可求得A點坐標，聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得B點坐標；
（2）可先求得兩直線與x軸的交點，則可求得與x軸圍成的圖形的面積；
（3）由A、B兩點的坐標可知當△ABP為直角三角形時，有∠APB=90°或∠ABP=90°，可設P點坐標為（0，y），則可表示出PA、PB的長，結(jié)合勾股定理可得到關于y的方程，可求得y的值，則可求得點P的坐標．

解答 解：
（1）在y=x-1中，令x=0，可得y=-1，
∴A（0，-1），
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（2，1）；
（2）設直線y=x-1與x軸交于點C，直線y=-2x+5與x軸交于點D，
在直線y=x-1中，令y=0可得x-1=0，解得x=1，在y=-2x+5中，令y=0可得-2x+5=0，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴C（1，0），D（$\frac{5}{2}$，0），
∴CD=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$，
即兩個函數(shù)圖象與x軸圍成的圖形的面積為$\frac{3}{4}$；
（3）設P點坐標為（0，y），
∵A（0，-1），B（2，1），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（1+1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AP=|y+1|，BP=$\sqrt{{2}^{2}+（1-y）^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$，
由題意可知當△ABP為直角三角形時，有∠APB=90°或∠ABP=90°，
①當∠APB=90°時，則有AP²+BP²=AB²，即（y+1）²+（y²-2y+5）=8，
解得y=-1（與A點重合，舍去）或y=1，此時P點坐標為（0，1）；
②當∠ABP=90°時，則有AB²+BP²=AP²，即8+（y²-2y+5）=（y+1）²，
解得y=3，此時P點坐標為（0，3）；
綜上可知當△ABP是直角三角形時，點P坐標為（0，1）或（0，3）．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)圖象的交點、三角形的面積、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象交點的求法，在（2）中求得兩直線與x軸的交點坐標是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標表示出AP、BP的長是解題的關鍵．本題考查知識較多，綜合性較強，難度適中．