Question

1．如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．如果BF=a，那么PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（用含a的代數式表示）．

Answer 1

分析 根據等邊三角形和角平分線的性質即可得出∠PBE=∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，通過解直角三角形可求出BP的長度，再通過解直角三角形即可得出線段PE的長度．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，
∴∠PBE=∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∵FQ⊥BP，
∴BQ=BF•cos∠FBQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵Q點是線段BP的中點，BQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BP=$\sqrt{3}$a．
在Rt△BEP中，∠PBE=30°，BP=$\sqrt{3}$a，PE⊥AB，
∴PE=BP•sin∠PBE=$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是通過解直角三角形求出線段PE的長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據等邊三角形的性質找出角的度數，再通過解直角三角形以及特殊角的三角形函數值找出線段的長是關鍵．