Question

6．如圖，以邊長為1的正方形的四邊中點為頂點作四邊形，再以所得四邊形四邊中點為頂點作四邊形，…依次作下去，圖中所作的第n個四邊形的周長為$4{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$．

Answer 1

分析 根據正方形的性質以及勾股定理，先求出第一個、第二個、第三個四邊形邊長，從而發現規律，即可求出第n個四邊形邊長及周長．

解答 解：∵第一個四邊形的邊長為：$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，周長為4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
第二個四邊形的邊長為：$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，周長為4×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
第三個四邊形的邊長為：$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，周長是：4×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）³，
…
∴第n個四邊形的邊長為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，周長為4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，
故答案為：4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查了正方形的性質以及勾股定理的應用，根據勾股定理求出每個四邊形的邊長，得出規律是解題關鍵．