Question

15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點m在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C，D兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于G點，若點A的坐標為（-2，0），AE=8，
（1）求證：AE=CD；
（2）求點C坐標和⊙M直徑AB的長；
（3）求OG的長．

Answer 1

分析 （1）要證明AE=CD，即證明$\widehat{ACE}=\widehat{CAD}$，由點C是$\widehat{AE}$的中點和AB⊥CD可知，$\widehat{AD}=\widehat{AC}=\widehat{CE}$，從而可得$\widehat{ACE}=\widehat{CAD}$；
（2）由垂徑定理可知：OC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE=4，所以點C的坐標為（0，4），連接AC和BC后，證明△CAO∽△BAC，可得CA²=AO•AB，從而可求出AB的長度；
（3）由$\widehat{CE}=\widehat{AD}$可知，AG=CG，設(shè)AG=x，則OG=4-x，利用勾股定理可列出方程即可求出x的值．

解答 解：（1）∵點C是$\widehat{AE}$的中點，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}$，
∵AB⊥CD，
∴由垂徑定理可知：$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CE}=\widehat{AD}$，
∴$\widehat{ACE}=\widehat{CAD}$，
∴AE=CD；

（2）連接AC、BC，
由（1）可知：CD=AE=8，
∴由垂徑定理可知：OC=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴C的坐標為（0，4），
由勾股定理可求得：CA²=2²+4²=20，
∵AB是⊙M的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAO∽△BAC，
∴$\frac{CA}{AO}=\frac{AB}{CA}$，
∴CA²=AO•AB，
∴AB=$\frac{20}{2}$=10；

（3）由（1）可知：$\widehat{CE}=\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AG=CG，
設(shè)AG=x，
∴CG=x，OG=OC-CG=4-x，
∴由勾股定理可求得：AO²+OG²=AG²，
∴2²+（4-x）²=x²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴OG=4-x=$\frac{3}{2}$

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識進行解答．