Question

3．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，點E、F分別在AB，BC上，且AE=BF，下列結論中：
①△DEF是等邊三角形；②∠CDF=2∠ADE；③四邊形DEBF的面積是9$\sqrt{3}$；④若AE=$\frac{1}{3}$AB，則DE=2$\sqrt{7}$．
一定正確的結論是①③④（把所有正確結論的序號都寫在橫線上）．

Answer 1

分析 連接BD，由菱形的性質可證明△ADE≌△BDF，得出DE=DF，再證出∠EDF=60°，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出△DEF是等邊三角形，從而判斷①正確；根據已知條件不能得出∠CDF=2∠ADE，從而判斷②錯誤；過點D作DM⊥AB于M，根據等腰三角形三線合一的性質得出AM=$\frac{1}{2}$AB=3．在Rt△ADM中，利用勾股定理求出DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，則四邊形DEBF的面積=△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，從而判斷③正確；若AE=$\frac{1}{3}$AB，可知BF=2，在Rt△EDM中，利用勾股定理求出DE=$\sqrt{E{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，從而判斷④正確．

解答 解：連結BD．
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠C=∠A=60°，
∴△ABD與△BCD都是等邊三角形，
∴DA=DB，∠DAE=∠DBF=60°，又AE=BF，
∴△ADE≌△BDF，
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∴∠EDF=∠ADB=60°，
∴△DEF是等邊三角形，①正確；
過點D作DM⊥AB于M，則AM=$\frac{1}{2}$AB=3．
在Rt△ADM中，DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵△ADE≌△BDF，
∴四邊形DEBF的面積=△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，③正確；
若AE=$\frac{1}{3}$AB，可知BF=AE=2，
∴EM=1．
在Rt△EDM中，DE=$\sqrt{E{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，④正確．
只有②是錯誤的．
故答案為①③④．

點評 本題考查了菱形的性質，等邊三角形、全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形、四邊形的面積，熟練掌握菱形的性質，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．