Question

13．在△ABC中，AD是△ABC的高，若AB=$\sqrt{6}$，tan∠B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且BD=2CD，則BC=3或1．

Answer 1

分析 由tan∠B=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可設AD=$\sqrt{2}$x，則BD=2x，在RT△ABD中根據勾股定理求得x的值，即可得BD、CD的長，分別求出點D在線段AB上和點D在線段AB延長線上時BC的長．

解答 解：∵tan∠B=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴設AD=$\sqrt{2}$x，則BD=2x，
∵AB²=AD²+BD²，
∴（$\sqrt{6}$）²=（$\sqrt{2}$x）²+（2x）²，
解得：x=1或x=-1（舍），
即BD=2，
又∵BD=2CD，
∴CD=1，
當點D在線段AB上時，如圖1，

則BC=BD+CD=3；
當點D在線段AB延長線上時，如圖2，

則BC=BD-CD=1；
故答案為：3或1．

點評 本題主要考查解直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角、邊邊、角角間的關系式解直角三角形的基礎，本題需考慮兩種情況是關鍵．