Question

12．如圖，已知直線y=-x+1與x軸交于A點，與y軸交于B點，P（a，b）為雙曲線y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上一動點，過P點分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D，交直線AB于點E、F
（1）用含b的代數(shù)式表示E點的坐標（1-b，b）
用含a的代數(shù)式表示F點的坐標（a，1-a）
（2）求證：△AOE∽△BFO
（3）當點P在雙曲線y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上移動時，∠EOF也隨之變化，試問∠EOF的大小是否變化，如果不變，求出其值，如果變化，說明理由．

Answer 1

分析 （1）易得點E的縱坐標為b，點F的橫坐標為a，代入直線的解析式y(tǒng)=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F兩點的坐標；
（2）由直線y=-x+1與x，y軸分別交于A、B兩點可得OA=OB=1，從而得到∠OAB=45°，將OE²、EF、EA分別用a、b的代數(shù)式表示，可得OE²=EF•EA，可證明△EOF∽△EAO，可得到∠EOA=∠EFO，又∠EAO=∠FBO，可證明△AOE∽△BFO；
（3）由（2）可得∠EOF=∠OAE=45°，其值不變．

解答 解：（1）如圖1，

∵PM⊥x軸與M，交線段AB于F，
∴x_F=x_M=x_P=a，
∵PN⊥y軸于N，交線段AB于E，
∴y_E=y_N=y_P=b，
∵點E、F在直線AB上，
∴y_E=-x_E+1=b，y_F=-x_F+1=-a+1，
∴x_E=1-b，y_F=1-a，
∴點E的坐標為（1-b，b），點F的坐標為（a，1-a）．
故答案為：（1-b，b）；（a，1-a）；
（2）證明：
過點E作EH⊥OM，垂足為H，如圖2，

∵EN⊥ON，
∴OE²=ON²+EN²=b²+（1-b）²=2b²+1-2b，
∵EH⊥OM，EH=b，AH=1-（1-b）=b，
∴EA=$\sqrt{{b}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$b，
同理可得：FA=$\sqrt{2}$（1-a），
∴EF=EA-FA=$\sqrt{2}$b-$\sqrt{2}$（1-a）=$\sqrt{2}$（b+a-1），
∵2ab=1，
∴EF•EA=$\sqrt{2}$（b+a-1）$\sqrt{2}$b=2（b²+ab-b）=2b²+2ab-2b=2b²+1-2b，
∴OE²=EF•EA，
∴$\frac{OE}{EF}$=$\frac{EA}{OE}$，
∵∠OEF=∠AEO，
∴△OEF∽△AEO，
∴∠EFO=∠AOE，
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴△AOE∽△BFO；
（3）由（2）可知△OEF∽△AEO，
∴∠EOF=∠EAO=45°，
∴∠EOF的大小不變，始終等于45°．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、勾股定理、完全平方公式等．在（2）中證得△OEF∽△AEO是解題的關(guān)鍵，為（3）的解決提供了條件．本題考查知識點較多，綜合性很強，特別是第（2）問難度很大．