Question

16．探究：如圖①，在△ABC外作△BAD，△CAE，使∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，以AD，AE為鄰邊向上作平行四邊形ADFE，連接AF，求證：△ADF≌△BAC；
應用：如圖②，在圖①的基礎上，取BD的中點P，連接PF，PC，PA，求∠FPC的度數，并說明理由．

Answer 1

分析 探究：由四邊形AEFD是平行四邊形，得到DF=AE，∠ADF+∠DAE=180°，等量代換得到DF=AC，∠ADF=∠BAC，根據全等三角形的判定定理即可得到結論．
應用：由四邊形AEFD是平行四邊形，得到DF=AE=AC，DF∥AE，根據平行線的性質得到∠BAC=∠ADF，證得∠PDF=∠PAC，
根據全等三角形的性質得到PF=PC，∠DPF=∠APC，即可得到結論．

解答 證明：探究：∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE，∠ADF+∠DAE=180°，
∵AC=AE，
∴DF=AC，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠ADF=∠BAC，
在△ABC與△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠ADF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADF；

應用：∵AB=AD，∠BAD=90°，PD=PB，
∴PA=PD=PB，∠ADB=∠ABD=∠PAD=45°，PA⊥BD，
∴∠DPA=90°
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE=AC，DF∥AE，
∴∠DAE+∠ADF=180°
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠ADF，
∵∠PDF=∠ADB+∠ADF=45°+∠ADF，
∠PAC=∠PAB+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠PDF=∠PAC，
在△PDF和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PA}\\{∠PDF=∠PAC}\\{DF=AC}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PAC，
∴PF=PC，∠DPF=∠APC，
∴∠DPA=∠FPC=90°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、平行四邊形的性質，等腰直角三角形的性質，熟記掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．