Question

9．無錫某電器商場根據民眾健康需要，代理銷售某種家用空氣凈化器，其進價是200元/臺．經過市場銷售后發現：在一個月內，當售價是400元/臺時，可售出200臺，且售價每降低10元，就可多售出50臺．若供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務．
（1）試確定月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數關系式；并求出自變量x的取值范圍；
（2）當售價x（元/臺）定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據：月銷售量=原銷售量+50×$\frac{原售價-實際售價}{10}$，即可列出函數關系式；根據供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售，列一元一次不等式組求解即可得x的取值．
（3）根據：總利潤=每臺利潤×銷售量，列出函數關系式，將函數關系式配方，即可求出最大w．

解答 解：（1）根據題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50臺，
則月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數關系式：y=200+50×$\frac{400-x}{10}$，
化簡得：y=-5x+2200；
供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺，
則$\left\{\begin{array}{l}x≥300\\-5x+2200≥450\end{array}$，
解得：300≤x≤350．
∴y與x之間的函數關系式為：y=-5x+2200（300≤x≤350）；

（2）W=（x-200）（-5x+2200），
整理得：W=-5（x-320）²+72000．
∵x=320在300≤x≤350內，
∴當x=320時，最大值為72000，
答：售價定為320元/臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大，最大利潤是72000元．

點評 本題主要考查對于二次函數的應用和掌握，而且還應用到將函數變形求函數極值的知識，解題的關鍵是能夠從實際問題中整理出二次函數模型．