Question

20．如圖，某堤壩的橫截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度（即tanα）為1：1.2，壩高10米，為了提高壩的防洪能力，由相關(guān)部門(mén)決定加固堤壩，要求將壩頂CD加寬2米，形成新的背水坡EF，其坡度為1：1.4，已知堤壩總長(zhǎng)度為1000米．
（1）求完成該工程需要多少土方？
（2）該工程由甲、乙兩工程隊(duì)同時(shí)合作完成，按計(jì)劃需20天，準(zhǔn)備開(kāi)工前接到上級(jí)要求，汛期可能提前，要求兩工程隊(duì)提高工作效率，甲隊(duì)工作效率提高30%，乙隊(duì)工作效率提高40%，結(jié)果提前5天完成．問(wèn)這兩個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天各完成多少土方？

Answer 1

分析 （1）欲求完成該工程需要多少土方，根據(jù)體積公式，在本題中，必須求出四邊形AFED的面積，上底、高為已知，只需用兩次坡度比求出AF的長(zhǎng)．
（2）根據(jù)題中兩個(gè)等量關(guān)系列方程組解答即可．

解答 解：（1）如圖所示：作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H，
∴EH∥DG，∠EHG=∠DGB=90°，
又∵CD∥AB，
∴四邊形EHGD是矩形，
∴EH=DG=10米，
∵$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{1.2}$，
∴AG=12米，
∵$\frac{EH}{FH}$=$\frac{1}{1.4}$，∴FH=14米，
∴FA=FH+GH-AG=14+2-12=4（米）
∴S_{四邊形ADEF}=$\frac{1}{2}$（ED+AF）•EH=$\frac{1}{2}$（4+2）×10=30（平方米）
V=30×1000=30000（立方米）；
答：需要30000立方米土方．

（2）設(shè)甲隊(duì)原計(jì)劃每天完成x立方米土方，乙隊(duì)原計(jì)劃每天完成y立方米土方．
根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{20（x+y）=30000}\\{15[（1+30%）x+（1+40%）y]=30000}\end{array}\right.$，
解之，得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1000}\\{y=500}\end{array}\right.$，
答：甲隊(duì)原計(jì)劃每天完成1000立方米土方，
乙隊(duì)原計(jì)劃每天完成500立方米土方．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用以及梯形面積的計(jì)算，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AF的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．