Question

15．如圖，直角△ABC的直角頂點C，另一頂點A及斜邊AB的中點D都在⊙O上，已知：AC=6，BC=8，則⊙O的半徑為$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 如圖連接CD、OD、OC，延長DO交AC于E，設半徑為R，先證明DE⊥AC，DE=$\frac{1}{2}$CB，在RT△OCE中，利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：如圖連接CD、OD、OC，延長DO交AC于E，設半徑為R．
在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵BD=AD=5，
∴CD=AD=5，
∵DC=DA，
$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，
∴DO⊥AC，EC=AE=3，
∴ED∥BC，∵BD=AD，
∴EC=EA，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在RT△COE中，∵∠OEC=90°，
∴CO²=OE²+CE²，
∴R²=（4-R）²+3²，
∴R=$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查點與圓的位置關系，三角形的中位線的性質，垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．