Question

16．如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點，作AG⊥EF交EF于G，又B為AG上一點，EB的延長線交半圓于點K，若EB=2，EK=6，則AE=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接AF、KF，由圓周角定理推論可得∠EAF=∠EKF=90°，根據AG⊥EF可證△BEG∽△FEK得$\frac{BE}{EF}$=$\frac{EG}{EK}$，即BE•EK=EF•EG，再證△AEG∽△FEA得$\frac{AE}{FE}$=$\frac{EG}{EA}$，從而知AE²=FE•EG=12，即可得答案．

解答 解：如圖，連接AF、KF，

∵EF是直徑，
∴∠EAF=∠EKF=90°
又AG⊥EF交EF于G，
∴∠BGE=∠EKF=90°，
∴△BEG∽△FEK，
則$\frac{BE}{EF}$=$\frac{EG}{EK}$，
∴BE•EK=EF•EG；
又AG⊥EF交EF于G，∠EAF=90°
∴△AEG∽△FEA，
則$\frac{AE}{FE}$=$\frac{EG}{EA}$
即AE²=FE•EG
∴AE²=EB•EK=2×6=12，
則AE=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質，熟練掌握圓周角定理以證得三角形相似是解題的關鍵．