Question

4．如圖，在圓O中，弦AB⊥CD于E，弦AG⊥BC于F，CD與AG相交于點M．
（1）求證：$\widehat{BD}$=$\widehat{BG}$．
（2）如果AB=12，CM=4，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結AD、BD、BG，由AB⊥CD，AG⊥BC得到∠CEB=∠AFB=90°，根據等角的余角相等得到∠ECB=∠BAF，即可得出結論；
（2）連接OA、OB、OC、OG、CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，由垂徑定理得出CH=GH=$\frac{1}{2}$CG，AK=BK=$\frac{1}{2}$AB=6，由圓周角定理和角的互余關系證出∠CNF=∠AGC，得出CG=CM=4，因此GH=2，由AG⊥BC證出$\widehat{BG}$的度數+$\widehat{AC}$的度數=180°，得出∠COG+∠AOB=180°，因此∠HOG+∠BOK=90°，證出∠HGO=∠BOK，由AAS證明△HOG≌△KBO，得出對應邊相等OK=HG=2，再由勾股定理求出OB即可．

解答 （1）證明：連結AD、BD、BG，如圖1所示，
∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠CEB=∠AFB=90°，
∴∠ECB+∠B=90°，∠BAF+∠B=90°，
∴∠ECB=∠BAF，即∠DCB=∠BAG，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BG}$；
（2）解：連接OA、OB、OC、OG、CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，如圖2所示：
則CH=GH=$\frac{1}{2}$CG，AK=BK=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵∠DCB=∠BAG，∠DCB+∠CMF=90°，∠BAG+∠ABF=90°，
∴∠CMF=∠ABF，
∵∠ABF=∠AGC，
∴∠CMF=∠AGC，
∴CG=CM=4，
∴GH=2，
∵AG⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°，
∴$\widehat{BG}$的度數+$\widehat{AC}$的度數=180°，
∴∠COG+∠AOB=180°，
∴∠HOG+∠BOK=90°，
∵∠HGO+∠HOG=90°，
∴∠HGO=∠BOK，
在△HOG和△KBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHG=∠BKO=90°}\\{∠HGO=∠BOK}\\{OG=OB}\end{array}\right.$，
∴△HOG≌△KBO（AAS），
∴OK=HG=2，
∴OB=$\sqrt{O{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；
即⊙O的半徑為2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（2）中，需要作多條輔助線證明三角形全等和運用勾股定理才能得出結果．