Question

6．如圖1，B，C，E三點在一條直線上，△CAB和△CDE均為等邊三角形，連接AE，BD，則有結論：AE=BD．
請你完成下面的探究：如果把圖1中的△CDE繞點C順時針旋轉一個角度（旋轉角小于60°），如圖2所示，結論AE=BD還成立嗎？請證明你的猜想，并求出AE與BD所夾銳角的度數．

Answer 1

分析 結論還成立．根據等邊三角形的各邊都相等得：CB=CA，CD=CE，由各角為60°得：∠BCA=∠DCE=60°，由等式的性質得：∠BCD=∠ACE，利用SAS證明△BCD≌△ACE；
在△DFG和△EGC中，根據兩個角對應相等，則第三個角相等得：∠DFE=∠DCE=60°，所以，AE與BD所夾銳角的度數為60°．

解答 證明：如圖2，結論還成立．            
∵△CAB和△CDE均為等邊三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}CB=CA\\∠BCD=∠ACE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠DGF=∠EGC，
∴∠DFE=∠DCE=60°，
所以，AE與BD所夾銳角的度數為60°．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的性質和判定，屬于常考題型，解題的關鍵是能利用等邊三角形的性質得到相等的線段和相等的角，從而證得三角形全等，進一步證得結論．