Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=$\frac{1}{2}$ax²-2ax（a＞0）與x軸正半軸交于點A，點B是拋物線的頂點，矩形CDEF的頂點D、E在x正半軸上，C、F在拋物線上，且點D的橫坐標為1，連結(jié)BC、BF，以BC為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形BCG
（1）求點B的坐標（用含a的代數(shù)式表示）
（2）當矩形CDEF為正方形時，求此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式
（3）當點G在拋物線對稱軸上時，求此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式
（4）直接寫出點G在五邊形BCDEF邊所在的直線上時a的值．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)拋物線的對稱軸方程可求得點B的橫坐標為2，將x=2代入拋物線的解析式求得對應(yīng)的y值可求得點B的縱坐標；
（2）依據(jù)拋物線的對稱性可求得點E的坐標，則DE=2，依據(jù)正方形的性質(zhì)可得到DC=2，然后求得點C的縱坐標，最后依據(jù)DC=2可得到關(guān)于a的方程；（3）先求得點G（2，-$\frac{3}{2}$a），由GB=GC可得到BG=1，然后用含a的式子表示BG的長，最后列出關(guān)于a的方程可求得a的值；
（4）當點G在DE上時．先證明△CDG≌△GHB，可得到HG=DC=$\frac{3}{2}$a，DG=HB=2a，然后依據(jù)DG+GH=1列方程求解即可；構(gòu)造等腰直角△ABC，∠C=90°，延長BC到D是BD=AD，可求得∠D=22.5，然后再求得tan22.5°的值，當點G在BF上時，記對稱軸與CF的交點為H，由∠CBG=45°以及拋物線的對稱性可知∠HBF=22.5，然后依據(jù)tan∠FBH=$\frac{FH}{BH}$列方程求解即可．

解答 解：（1）x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{2×\frac{1}{2}a}$=2，
將x=2代入拋物線的解析式得y=$\frac{1}{2}$a×4-2a×2=-2a．
∴點B的坐標為（2，-2a）．

（2）∵D（1，0），拋物線的對稱軸為x=2，
∴E（3，0）．
∴DE=2．
∵CDEF為正方形，
∴DC=DE=2．
將x=1代入拋物線的解析式得：y=-$\frac{3}{2}$a，
∴C（1，-$\frac{3}{2}$a）．
∴$\frac{3}{2}$a=2，解得：a=$\frac{4}{3}$．
∴拋物線的表達式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x．

（3）如圖1所示：

當點G在對稱軸上時，BG=CG=1．
∵C（1，-$\frac{3}{2}$a），CG∥x軸，
∴G（2，-$\frac{3}{2}$a）．
又∵B（2，-2a），
∴BG=$\frac{1}{2}$a=1，解得a=2，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x．

（4）如圖2所示：當點G在DE上時．

∵△CGB為等腰直角三角形，
∴CG=BG．
∵∠DGC+∠BGH=90°，∠DCG+∠DGC=90°，
∴∠BGH=∠DCG．
在△CDG和△GHB中$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠DCG}\\{∠D=∠H}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△GHB．
∴HG=DC=$\frac{3}{2}$a，DG=HB=2a．
∵DG+GH=1，
∴$\frac{3}{2}$a+2a=1，解得a=$\frac{2}{7}$．
如圖3所示：△ABC為等腰直角三角形，且AB=BD．

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$AC．
∵AB=BD=$\sqrt{2}$AC，
∴∠D=22.5．
∴tan∠22.5=$\frac{AC}{AC+\sqrt{2}AC}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$．
如圖4所示：

∵∠CBD=45°，點C與點F關(guān)于BH對稱，
∴∠HBF=22.5°．
∴$\frac{FH}{HB}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，即：$\frac{1}{\frac{1}{2}a}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，解得：a=2$+2\sqrt{2}$．
綜上所述a的值為$\frac{2}{7}$或2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)、矩形、正方形，等腰直角三角形的性質(zhì)，通過構(gòu)造直角三角形求得tan22.5°的值是解題的關(guān)鍵．