Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的直角頂點C在拋物線y=ax²+bx上運動，斜邊AB垂直于y軸，且AB=8，∠ABC=60°，當Rt△ABC的斜邊AB落在x軸上時，B點坐標是（-3，0），A點恰在拋物線y=ax²+bx上
（1）求AB邊上的高線CD的長；
（2）求拋物線解析式；
（3）Rt△ABC在運動過程中有可能被y軸分成兩部分，當這兩部分的面積之比為1：2時，求頂點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形兩銳角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）根據點B的坐標和AB的長度求出點A的坐標，再求出點C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（3）設AC、AB與y軸的交點分別為E、F，再分兩種情況，利用三角形AEF的面積求出AF，再表示出DF，得到點C的橫坐標，再根據點C在拋物線上，把點C的橫坐標代入拋物線求解得到點C的縱坐標即可得解．

解答 解：（1）過點C作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，AC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△BCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCD=30°，
∵BC=4，
∴BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
即：AB邊上的高線CD的長為2$\sqrt{3}$；
（2）由（1）知，BD=2，
∵AB=8，B（-3，0），
∴A（5，0），
∴C的橫坐標為-1，
∴C（-1，2$\sqrt{3}$），
∵A（5，0），C（-1，2$\sqrt{3}$）恰在拋物線y=ax²+bx上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{a-b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$，
（3）由（1）知，BC=4，AC=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
由（1）知，BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC＞S_△BCD，
∵Rt△ABC在運動過程中有可能被y軸分成兩部分，當這兩部分的面積之比為1：2時，y軸只能和AC、AB相交，設△ABC的邊AC、AB與y軸相交于E，F，
在Rt△AEF中，∠A=30°，
∴EF=AFtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF²，
①當S_△AEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=4，
∵AD=AB-BD=6，
∴C點的橫坐標為-2，
∵點C在拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$上，
∴點C的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{3}×4-\frac{5\sqrt{3}}{3}×（-2）$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∴C（-2，$\frac{14\sqrt{3}}{3}$），
②當S_△AEF=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=4$\sqrt{2}$，
∵AD=AB-BD=6，
∴C點的橫坐標為4$\sqrt{2}$-6，
∵點C在拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$上，
∴點C的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{3}×（4\sqrt{2}-6）^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}（4\sqrt{2}-6）$=$\frac{98\sqrt{3}-68\sqrt{6}}{3}$，
∴C（4$\sqrt{2}$-6，$\frac{98\sqrt{3}-68\sqrt{6}}{3}$）．
即：滿足條件的點C的坐標為$（{-2\;，\;\;\frac{{14\sqrt{3}}}{3}}）$，$（{4\sqrt{2}-6\;，\;\;\frac{{98\sqrt{3}}}{3}-\frac{{68\sqrt{6}}}{3}}）$．

點評 本題是二次函數綜合題型，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質，勾股定理的應用，待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，（2）表示出點C的橫坐標是解題的關鍵，（3）難點在于利用三角形的面積求出點A到y軸的距離，即AF的長度．