Question

11．在平面直角坐標系中
（1）取點M（1，0），則點M到直線l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$；取直線y=$\frac{1}{2}$x+2與直線l平行，則兩直線距離為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
（2）已知點P為拋物線y=x²-4x的x軸上方一點，且點P到直線l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為2$\sqrt{5}$，求點P的坐標．
（3）若直線y=kx+m與拋物線y=x²-4x相交于x軸上方兩點A、B（A在B的左邊）．且∠AOB=90°，求點P（2，0）到直線y=kx+m的距離的最大時直線y=kx+m的解析式．

Answer 1

分析 （1）先確定與直線y=$\frac{1}{2}$x-1與x軸的交點坐標為（2，0），與y軸的交點坐標為（0，-1），利用勾股定理計算出兩交點的距離為$\sqrt{5}$，則利用面積法可求出原點到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，于是可得到直線y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移2個單位，所得直線y=$\frac{1}{2}$x到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用此規律可得點M（1，0）到直線l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$；直線y=$\frac{1}{2}$x+2與直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（2）利用（1）中規律可得直線y=$\frac{1}{2}$x+4到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為2$\sqrt{5}$，由于點P為直線y=$\frac{1}{2}$x+4與拋物線y=x²-4x的交點，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$可得點P的坐標；
（2）設A（a，a²-4a），B（b，b²-4b），易得△AOC∽△ODB，利用相似比可得到$\frac{{a}^{2}-4a}{b}$=$\frac{-a}{{b}^{2}-4b}$，整理得ab-4（a+b）+17=0，由于a、b為方程kx+m=x²-4x的兩個根，即方程為x²-（k+4）x-m=0，利用根系數的關系得到a+b=k+4，ab=-m，所以m=1-4k，則直線y=kx+m變形為y-1=k（x-4），于是可判斷直線y-1=k（x-4）過定點Q（4，1），只有當PQ⊥直線y=kx+m時，點P到直線y=kx+m的距離的最大，求出直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，則k=-2，然后計算出對應m的值即可．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x-1與x軸的交點坐標為（2，0），與y軸的交點坐標為（0，-1），
∴兩交點的距離為$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴原點到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可看作直線y=$\frac{1}{2}$x到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即直線y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移2個單位，所得直線y=$\frac{1}{2}$x到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移1個單位，所得直線到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即點M（1，0）到直線l：y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∵直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸的交點坐標為（-4，0），
∴直線y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移6個單位得到直線y=$\frac{1}{2}$x+4，
∴直線y=$\frac{1}{2}$x+2與直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（2）∵直線y=$\frac{1}{2}$x-1向左平移10個單位，所得直線y=$\frac{1}{2}$x+4到直線y=$\frac{1}{2}$x-1的距離為2$\sqrt{5}$，
∴點P為直線y=$\frac{1}{2}$x+4與拋物線y=x²-4x的交點，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9+\sqrt{145}}{4}}\\{y=\frac{41+\sqrt{145}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9-\sqrt{145}}{4}}\\{y=\frac{41-\sqrt{145}}{8}}\end{array}\right.$，
∴點P的坐標為（$\frac{9+\sqrt{145}}{4}$，$\frac{41+\sqrt{145}}{8}$）或（$\frac{9-\sqrt{145}}{4}$，$\frac{41-\sqrt{145}}{8}$）；

（2）設A（a，a²-4a），B（b，b²-4b），
∵∠AOB=90°，
∴△AOC∽△ODB，
∴$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OC}{BD}$，即$\frac{{a}^{2}-4a}{b}$=$\frac{-a}{{b}^{2}-4b}$，
整理得ab-4（a+b）+17=0，
∵點A和點B為直線y=kx+m與拋物線y=x²-4x的交點，
∴a、b為方程kx+m=x²-4x的兩個根，即方程為x²-（k+4）x-m=0，
∴a+b=k+4，ab=-m，
∴-m-4（k+4）+17=0，
∴m=1-4k，
∴y=kx+1-4k，即y-1=k（x-4），
∴直線y-1=k（x-4）過定點Q（4，1），
當PQ⊥直線y=kx+m時，點P到直線y=kx+m的距離的最大，
直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴k=-2，
∴m=1-4×（-2）=9，
∴點P（2，0）到直線y=kx+m的距離的最大時直線y=kx+m的解析式為y=-2x+9．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握一次函數的平移、二次函數與一次函數的交點問題；會應用勾股定理和相似比計算線段的長．