Question

9．已知：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB邊上的中線．
（1）CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）若CG=EG，求證：DG⊥CE．

Answer 1

分析 （1）含30°角的直角三角形的性質得出AD=$\frac{1}{2}$AB，證得△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出結論；
（2）連接DE，證得DE是Rt△ABD斜邊AB上的中線，得出DE=$\frac{1}{2}$AB，證得DE=CD，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵AD是BC邊上的高，
∴AD⊥BC，
∵∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠ACB=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB；
（2）連接DE，如圖所示：
∵CE是AB邊上的中線，AD⊥BC，
∴DE是Rt△ABD斜邊AB上的中線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴DE=CD，
∵CG=EG，
∴DG⊥CE．

點評 本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線定理等知識；熟練掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的三線合一是解決問題的關鍵．