Question

11．如圖，在Rt△ABC中，BC=a，AB=c，CD為斜邊上的高，DE⊥AC．設△AED、△CDB、△ABC的周長分別為p₁，p₂，p，則當$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$取最大值時，sinA=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 易證Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC，令BC=a，AB=c，即可求得$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$=$\frac{AD}{AB}$+$\frac{BC}{AB}$=-（$\frac{a}{c}$）²+$\frac{a}{c}$+1，根據二次函數的極值即可求得，$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$時∠A的度數，進而可求出sinA的值．

解答 解：∵CD⊥AB，DE⊥AC
Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC．
令BC=a，AB=c，則DB=$\frac{{a}^{2}}{c}$，AD=c-$\frac{{a}^{2}}{c}$．
于是得$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$=$\frac{AD}{AB}$+$\frac{BC}{AB}$=-（$\frac{a}{c}$）²+$\frac{a}{c}$+1，
由二次函數性質知，當$\frac{a}{c}$=-$\frac{1}{2×（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{p}$取最大值時，
此時∠A=30°．所以sinA=$\frac{1}{2}$，
故選A．

點評 本題考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，考查了相似三角形的證明，本題中求一元二次方程的最大值時x的取值是解題的關鍵．