Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位的速度向點A勻速運動，到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒（t＞0），過點P作∠DPA=∠CPO，且PD=$\frac{1}{2}$CP，連接DA．
（1）點D的坐標為（$\frac{3}{2}$t，1）．（請用含t的代數式表示）
（2）點P在從點O向點A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥OA于E，證得△POC∽△PED，根據三角形相似的性質易求得PE=$\frac{1}{2}$t，DE=1，即可求得D（$\frac{3}{2}$t，1）；
（2）分兩種情況討論：①當∠PDA=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△ADP．得出$\frac{\sqrt{4+{t}^{2}}}{4-t}$=$\frac{t}{\frac{1}{2}\sqrt{4+{t}^{2}}}$，即可求得t₁=2，t₂=$\frac{2}{3}$．②當∠DAP=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△DAP．得出$\frac{t}{4-t}$=$\frac{2}{1}$，即可求得t=$\frac{8}{3}$．

解答 解：（1）如圖1，作DE⊥OA于E，
∵∠POC=∠PED=90°，∠DPA=∠CPO，
∴△POC∽△PED，
∴$\frac{PE}{OP}$=$\frac{DE}{OC}$=$\frac{DP}{CP}$，
∵OC=2，OP=t，PD=$\frac{1}{2}$CP，
∴PE=$\frac{1}{2}$t，DE=1，
∴D（$\frac{3}{2}$t，1）；
（2）在△COP中，CO=2，OP=t，CP=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$．
在△ADP中，PD=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+{t}^{2}}$，AP=4-t．
①當∠PDA=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△ADP．
∴$\frac{CP}{PA}$=$\frac{OP}{PD}$，
∴$\frac{\sqrt{4+{t}^{2}}}{4-t}$=$\frac{t}{\frac{1}{2}\sqrt{4+{t}^{2}}}$，
解得：t₁=2，t₂=$\frac{2}{3}$．
②當∠DAP=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△DAP．
∴$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DP}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{t}{4-t}$=$\frac{2}{1}$，
解得：t=$\frac{8}{3}$．
綜上所述，點P在運動的過程中，當t=2或$\frac{2}{3}$或$\frac{8}{3}$時，△DPA成為直角三角形．
故答案為（$\frac{3}{2}$t，1）．

點評 本題是四邊形綜合題，考查了三角形相似的判定和性質，勾股定理的應用，兩點間距離公式，分類思想的運用是解決第（2）小題的關鍵．