Question

10．如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是-2．
（1）求這條直線的解析式及點B的坐標；
（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標；
（2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，然后分若∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²；若∠ACB=90°，則AB²=AC²+BC²；若∠ABC=90°，則AB²+BC²=AC²三種情況求得m的值，從而確定點C的坐標；

解答 解：（1）∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為-2，
∴y=$\frac{1}{4}$×（-2）²=1，A點的坐標為（-2，1），
設直線的函數關系式為y=kx+b，
將（0，4），（-2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線y=$\frac{3}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+4}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=16}\end{array}\right.$
∴點B的坐標為（8，16）；

（2）如圖，連接AC，BC，
∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB²=325．
設點C（m，0），同理可得AC²=（m+2）²+1²=m²+4m+5，
BC²=（m-8）²+16²=m²-16m+320，
①若∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²，即325+m²+4m+5=m²-16m+320，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
②若∠ACB=90°，則AB²=AC²+BC²，即325=m²+4m+5+m²-16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，則AB²+BC²=AC²，即m²+4m+5=m²-16m+320+325，
解得：m=32；
∴點C的坐標為（-$\frac{1}{2}$，0），（0，0），（6，0），（32，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題型．一次函數的應用、待定系數法、兩點間距離公式、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．