Question

2．已知△ABC是等邊三角形，點D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，點M是射線EC上的一個動點，作等邊△DMN，使△DMN與△ABC在BC邊同側，連接NF．
（1）如圖1，當點M與點C重合時，直接寫出線段FN與線段EM的數量關系；
（2）當點M在線段EC上（點M與點E，C不重合）時，在圖2中依題意補全圖形，并判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）連接DF，直線DM與直線AC相交于點G，若△DNF的面積是△GMC面積的9倍，AB=8，請直接寫出線段CM的長．

Answer 1

分析 （1）先連接ED，EF，DF，根據D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，得出△DEF是等邊三角形，進而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；
（2）與（1）類似，先連接ED，EF，DF，得出△DEF是等邊三角形，進而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；
（3）分兩種情況：①當M在線段CE上時，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，再根據條件判定△GCM∽△DEM，根據相似三角形的性質，得出$\frac{CM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，再根據CE=$\frac{1}{2}$BC=4，即可得出CM=$\frac{1}{4}$CE=1；②當M在線段EC延長線上時，運用同樣的方法，判定△GCM∽△DEM，得出$\frac{CM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，再根據CE=4，即可得出CM=$\frac{1}{2}$CE=2．

解答 解：（1）線段FN與線段EM的數量關系為：FN=EM．
理由：如圖1，連接ED，EF，DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∵D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，
∴DE=EF=FD，即△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
又∵△DMN是等邊三角形，
∴DN=DM，∠MDN=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△FDN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=ED}\\{∠FDN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△DEM（SAS），
∴FN=EM．

（2）補全圖形，如圖2．結論FN=EM成立．
證明：連接ED，EF，DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∵D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，
∴DE=EF=FD，即△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
又∵△DMN是等邊三角形，
∴DN=DM，∠MDN=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△FDN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=ED}\\{∠FDN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△DEM（SAS），
∴FN=EM．

（3）分兩種情況：
①如圖3，當M在線段CE上時，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，
由（2）可得△DFN≌△DEM，
∴△DFN與△DEM面積相等，
∵△DNF的面積是△GMC面積的9倍，
∴△DEM的面積是△GMC面積的9倍，
∵CG∥DE，
∴△GCM∽△DEM，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=$\frac{1}{4}$CE=1；
②如圖4，當M在線段EC延長線上時，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，
同理可得△DFN≌△DEM，
∴△DFN與△DEM面積相等，
∵△DNF的面積是△GMC面積的9倍，
∴△DEM的面積是△GMC面積的9倍，
∵CG∥DE，
∴△GCM∽△DEM，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴CM=$\frac{1}{2}$CE=2．
綜上所述，CM的長為1或2．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形以及全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等進行推導計算．解題時注意靈活運用：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．