Question

20．如圖，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+1和x軸、y軸分別交于點A、B．若以線段AB為邊作等邊三角形ABC，則點C的坐標是（$\sqrt{3}$，2）或（0，-1）．

Answer 1

分析 求出A、B的坐標，得出OA、OB的值，求出∠OAB、∠ABO的度數，分為兩種情況：畫出圖形，①求出AC⊥x軸，由A的坐標和AB的值，根據等邊三角形性質即可求出答案；②求出C在y軸上，且OB=OC，根據B的坐標即可求出C的坐標．

解答 解：∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+1和x軸、y軸分別交于點A、B，
∵當x=0時，y=1，
當y=0時，x=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
即OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵在△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB=2，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
有兩種情況：如圖1，
∵△ABC₁是等邊三角形，
∴AC₁=AB=2，∠CAB=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠C₁AO=90°，
∴C₁點的橫坐標和A的橫坐標相等，是$\sqrt{3}$，縱坐標是2，
即C₁（$\sqrt{3}$，2）；
如圖2，
∵∠ABO=60°，
∴C₂在y軸上，
∵等邊三角形ABC，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠OAC=∠BAO=30°，
∴OB=OC=1，
即C的坐標是（0，-1）；
故答案為：（$\sqrt{3}$，2）或（0，-1）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，分類討論思想的運用是解題的關鍵．