Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，A（2，2），B（-1，0），C （3，0）
（1）求△ABC面積；
（2）在y軸上存在一點D，使得△AOD的面積是△ABC面積的2倍，求出點D的坐標；
（3）在平面內有點P（3，m），是否存在m值，使△AOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據點B、C的坐標即可得出線段BC的長度，再結合點A的縱坐標利用三角形的面積公式即可求出△ABC面積；
（2）設點D的坐標為（x，0），由三角形的面積公式結合△AOD的面積是△ABC面積的2倍，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）假設存在，過點P作PE⊥AO于點E，延長OA交直線x=3于點F，由點O、A的坐標利用待定系數法求出直線OA的解析式，進而即可求出點F的坐標，由點F的坐標結合PE⊥AO即可找出△PEF為等腰直角三角形，由此可得出PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF，再根據△AOP的面積等于△ABC面積的2倍即可得出關于m的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出m值．

解答 解：（1）∵點B（-1，0），C（3，0），
∴BC=3-（-1）=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•y_A=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

（2）設點D的坐標為（x，0），
∵△AOD的面積是△ABC面積的2倍，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•y_A=|x|=2S_△ABC=8，
∴x=±8．
∴點D的坐標為（-8，0）和（8，0）．

（3）假設存在，過點P作PE⊥AO于點E，延長OA交直線x=3于點F，如圖所示．
由點O（0，0）、A（2，2）利用待定系數法可得出直線OA的解析式為y=x，
聯立直線OA和CP成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點F（3，3），
∴OC=CF=3，
∴∠OFC=45°．
∵PE⊥OA，
∴△PEF為等腰直角三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF．
∵點O（0，0），點A（2，2），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•PE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$|3-m|=2S_△ABC=8，
∴|3-m|=8，
解得：m=-5或m=11．
故存在m值，使△AOP的面積等于△ABC面積的2倍，此時m的值為-5或11．

點評 本題考查了坐標與圖形的性質、待定系數法求一次函數解析式、等腰直角三角形的判定與性質、三角形的面積以及解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）熟練掌握三角形的面積公式；（2）根據面積間的關系找出關于x的一元一次方程；（3）根據面積間的關系找出關于m的一元一次方程．