Question

14．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點E是AC的中點．（1）求證：△BED是等腰三角形：
（2）當∠BCD=150°時，△BED是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，從而得到BE=DE．
（2）利用等邊對等角以及三角形外角的性質得出$\frac{1}{2}$∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根據四邊形內角和即可求得答案．

解答 證明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，點E是AC邊的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB，
∵△BED是等邊三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°．
故答案為：150．

點評 此題主要考查了等腰三角形的性質和判定以及三角形外角的性質等知識，根據題意得出$\frac{1}{2}$∠DEB=∠DAB是解題關鍵．