Question

7．如圖，拋物線y=-x²+bx+c過點B（3，0），C（0，3），D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式以及頂點坐標；
（2）點C關于拋物線y=-x²+bx+c對稱軸的對稱點為E點，聯結BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）點M是拋物線對稱軸上一點，且△DMB和△BCE相似，求點M坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出二次函數的解析式，根據二次函數的性質解答即可；
（2）過點E作EH⊥BC于點H，根據軸對稱的性質求出點E的坐標，根據三角形的面積公式求出EH、BH，根據正切的定義計算即可；
（3）分$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$和$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$兩種情況，計算即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過點B（3，0）和點C（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+3=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線頂點D的坐標為（1，4），
（2）由（1）可知拋物線對稱軸為直線x=1，
∵點E與點C（0，3）關于直線x=1對稱，
∴點E（2，3），
過點E作EH⊥BC于點H，
∵OC=OB=3，
∴BC=$3\sqrt{2}$，
∵${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BC•EH=\frac{1}{2}CE•OC$，CE=2，
∴$3\sqrt{2}•EH=2×3$，
解得EH=$\sqrt{2}$，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH=$\sqrt{2}$，
∴BH=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BEH中，$tan∠CBE=\frac{EH}{BH}=\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$；
（3）當點M在點D的下方時
設M（1，m），對稱軸交x軸于點P，則P（1，0），
∴BP=2，DP=4，
∴$tan∠BDP=\frac{1}{2}$，
∵$tan∠CBE=\frac{1}{2}$，∠CBE、∠BDP均為銳角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB與△BEC相似，
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$或$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，
①$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$，
∵DM=4-m，$DB=2\sqrt{5}$，$BC=3\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{10}$
∴$\frac{4-m}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{{3\sqrt{2}}}$，
解得，$m=\frac{2}{3}$，
∴點M（1，$\frac{2}{3}$）
②$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，則$\frac{4-m}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{10}}}$，
解得m=-2，
∴點M（1，-2），
當點M在點D的上方時，根據題意知點M不存在．
綜上所述，點M的坐標為（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-2）．

點評 本題考查的是二次函數知識的綜合運用、相似三角形的判定和性質，掌握待定系數法求二次函數解析式的一般步驟、熟記相似三角形的判定定理和性質定理、掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵．