Question

17．如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 因為PQ為切線，所以△OPQ是直角三角形，又因為OQ為定值，所以當OP最小時，PQ最小；根據垂線段最短，知OP=3時PQ最小；根據勾股定理求出PQ的最小值．

解答 解：過點O作直線l的垂線，垂足為P，過P作⊙O的切線PQ，切點為Q，連接OQ，此時PQ為最小，
∴OP=3，OQ=2，
∵PQ切⊙O于點Q，
∴∠OQP=90°，
由勾股定理得：PQ=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
則PQ的最小值為$\sqrt{5}$，
故選A．

點評 本題考查了切線的性質、點到直線的距離，熟練掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑；本題也是求最值問題，利用數形結合，發現PQ在直角三角形OPQ中，所以PQ的最小值，與另兩邊OP和OQ有關，由此來判斷最小值時點P的位置．