Question

7．如圖，已知CA=CB，BD是∠ABC的角平分線，且AB=BC+CD，求∠C的度數．

Answer 1

分析 在AB上截取BE=BC，根據角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△BDE和△BDC全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=CD，再求出AE=DE，根據等邊對等角可得∠A=∠ADE，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，再根據全等三角形對應角相等可得∠C=∠DEB，根據等邊對等角可得∠A=∠ABC，然后利用三角形的內角和等于180°列方程求解即可．

解答 解：如圖，在AB上截取BE=BC，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BDE和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴DE=CD，
∵AB=BC+CD，AB=AE+BE，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE，
由三角形的外角性質得，∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵△BDE≌△BDC，
∴∠C=∠DEB=2∠A，
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠A+2∠A=180°，
解得∠A=45°，
所以，∠C=2∠A=90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造出全等三角形．