Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，F是⊙O外一點，FC切⊙O于點C，過點F作FD⊥AB于點D，交弦AC于點E．
（1）求證：EF=CF；
（2）若AB=10，DF=6，cos∠FCE=$\frac{3}{5}$，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接半徑OC，根據切線可得：∠FCO=90°，由同圓的半徑相等和垂直的定義得：∠FCA=∠AED，
根據對頂角相等，進行等量代換可得：∠FEC=∠FCA，所以EF=CF；
（2）根據同角的三角函數得：cos∠AED=$\frac{3}{5}$，設DE=3x，AE=5x，則AD=4x，FE=FC=6-3x，證明△FEC∽△OBC，則$\frac{FE}{OB}=\frac{EC}{BC}$，表示EC=$\frac{6（6-3x）}{5}$，根據AC=AE+EC列式可求得x的值，

解答 證明：（1）連接OC，
∵FC切⊙O于點C，
∴∠FCO=90°，
∴∠FCA+∠ACO=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠FCA+∠A=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴∠AED+∠A=90°，
∴∠FCA=∠AED，
∵∠AED=∠FEC，
∴∠FEC=∠FCA，
∴EF=CF；
（2）由（1）得∠AED=∠FCE，
∵cos∠FCE=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠AED=$\frac{3}{5}$，
設DE=3x，AE=5x，則AD=4x，
∴FE=FC=6-3x，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵∠FCE+∠ACO=90°，
∴∠BCO=∠FCE，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠FCE=∠FEC=∠OCB=∠OBC，
∴△FEC∽△OBC，
∴$\frac{FE}{OB}=\frac{EC}{BC}$，
Rt△ABC中，∠B=∠AED，
∴cos∠B=$\frac{3}{5}$=$\frac{BC}{AB}$，
∵AB=10，
∴BC=6，
∴AC=8，
∴$\frac{6-3x}{5}=\frac{EC}{6}$，
∴EC=$\frac{6（6-3x）}{5}$，
∵AC=AE+EC=8，
∴5x+$\frac{6（6-3x）}{5}$=8，
x=$\frac{4}{7}$，
∴AE=5x=$\frac{20}{7}$．

點評 本題考查了切線的性質、三角函數、相似三角形的性質和判定等，熟記圓的切線垂直于過切點的半徑，明確直徑所對的圓周角是直角，在幾何證明中，如果已知某角的三角函數值，可以根據函數定義列比例式或根據此條件設未知數，利用勾股定理或相似列等式可求解．