Question

9．正方形ABCD中，BD為正方形對角線，E點是AB邊中點，連結DE，過C點作CG⊥DE交DE于G點，交BD于H點，過B點作BF⊥DE交DE延長線于F點，連結AF．若AF=2，則△BHG的面積為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 連接AG，設AD=2a，則AE=BE=a，根據勾股定理得到DE=$\sqrt{5}$a，根據相似三角形的性質得到EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，DF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，DG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，得到BF=DG，根據全等三角形的性質得到AG=AF=2，∠DAG=∠BAF，得到△AFG是等腰直角三角形，于是得到FG=2$\sqrt{2}$，根據相似三角形的性質得到GH=$\frac{4}{3}$，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：連接AG，
∵四邊形ABCD是正方形，E點是AB邊中點，
設AD=2a，則AE=BE=a，
∴DE=$\sqrt{5}$a，
∵BF⊥DE，
∴∠DAE=∠BFE=90°，
∵∠AED=∠FEB，
∴△AED∽△FEB，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{EF}=\frac{AD}{BF}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴DF=EF+DE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$a，
∵∠AED+∠CDG=∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADE=∠DCG，
∵∠DAE=∠CGD=90°，
∴△ADE∽△GCD，
∴$\frac{DG}{AE}=\frac{CD}{DE}$，
∴DG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴BF=DG，
在△ADG與△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADG=∠ABF}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌ABF（SAS），
∴AG=AF=2，∠DAG=∠BAF，
∴∠FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴FG=2$\sqrt{2}$，
∴DF-DG=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$a-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∵BF⊥DF，CG⊥DF，
∴△DGH∽△DFB，
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{GH}{BF}$，解得：GH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴△BHG的面積=$\frac{1}{2}$GH•FG=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{3}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判斷和性質，等腰直角三角形的判定和性質，正方形的性質，三角形面積的計算，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．