Question

19．（1）問題發現
如圖①，直線AB∥CD，E是AB與AD之間的一點，連接BE，CE，可以發現∠B+∠C=∠BEC．

請把下面的證明過程補充完整：
證明：過點E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等）
∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）
即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究
如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360°-∠BEC．
（3）解決問題
如圖③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，則∠A=20°．（之間寫出結論，不用寫計算過程）

Answer 1

分析 （1）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；
（2）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；
（3）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可．

解答 （1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）
即∠B+∠C=∠BEC，
故答案為：平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等，∠BEF+∠CEF；

（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠AEC=360°，
∴∠B+∠C=360°-∠BEC；

（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，
∵∠C=120°，∠AEC=80°，
∴∠CEF=180°-120°=60°，
∴∠BEF=80°-60°=20°，
∴∠A=∠BEF=20°．
故答案為：20°．

點評 本題考查了平行線的性質和判定的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，注意：①兩直線平行，內錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內角互補．