Question

3．在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax²+bx-2的圖象經過點A（1，0）、點B（4，0），且與y軸交于點C．
（1）求二次函數解析式；
（2）若點D在y軸上，以D、A、C為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；
（3）若點E位于x軸上方的拋物線上，且∠EBC=∠OAC，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數y=ax²+bx-2的圖象經過點A（1，0）、點B（4，0），根據待定系數法求得二次函數解析式；
（2）先判斷∠OCA=∠OBC，再分兩種情況進行討論：①當△DCA∽△ABC時，$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AB}{CB}$；②當△ACD∽△ABC時，$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$，分別求得DC的長，由此得到點D的坐標；
（3）先延長CA，BE，交于點F，根據直線AC：y=2x-2，設F（x，2x-2），再根據△FAB∽FBC，得到FB²=FA•FC，據此列出關于x 方程，求得點F的坐標，最后根據直線BF的解析式以及二次函數解析式，通過解方程組，求得點E的坐標即可．

解答 解：（1）∵二次函數y=ax²+bx-2的圖象經過點A（1，0）、點B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b-2}\\{0=16a+4b-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）∵在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2中，當x=0時，y=-2，
∴點C的坐標為（0，-2），即OC=2，
∵A（1，0）、B（4，0），
∴OA=1，OB=4，AC=$\sqrt{5}$，AB=3，
∴tan∠OCA=tan∠OBC=$\frac{1}{2}$，且BC=2$\sqrt{5}$，
∴∠OCA=∠OBC，
①當△DCA∽△ABC時，$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AB}{CB}$，
即$\frac{DC}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得DC=$\frac{3}{2}$，
∴OD=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴此時點D的坐標為（0，-$\frac{1}{2}$）；
②當△ACD∽△ABC時，$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{DC}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
解得DC=$\frac{10}{3}$，
∴OD=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$，
∴此時點D的坐標為（0，$\frac{4}{3}$）；

（3）如圖所示，延長CA，BE，交于點F，
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（1，0）、C（0，-2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴AC：y=2x-2，
設點F的橫坐標為x，則縱坐標為2x-2，即F（x，2x-2），
∵A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴BF=$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$，AF=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$，FC=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
∵∠BAF=∠OAC=∠FBC，∠F=∠F，
∴△FAB∽FBC，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{FB}{FC}$，即FB²=FA•FC，
∴（$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$）²=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$×$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
解得x=$\frac{20}{11}$，
∴F（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$），
設直線BF的解析式為y=mx+n，則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{18}{11}=\frac{20}{11}m+n}\\{0=4m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質、運用待定系數法求函數解析式以及兩點間的距離公式的綜合應用，解決問題的關鍵是運用分類討論思想進行求解．