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3.在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=ax2+bx-2的圖象經過點A(1,0)、點B(4,0),且與y軸交于點C.
(1)求二次函數解析式;
(2)若點D在y軸上,以D、A、C為頂點的三角形與△ABC相似,求點D的坐標;
(3)若點E位于x軸上方的拋物線上,且∠EBC=∠OAC,求點E的坐標.

分析 (1)根據二次函數y=ax2+bx-2的圖象經過點A(1,0)、點B(4,0),根據待定系數法求得二次函數解析式;
(2)先判斷∠OCA=∠OBC,再分兩種情況進行討論:①當△DCA∽△ABC時,$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AB}{CB}$;②當△ACD∽△ABC時,$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$,分別求得DC的長,由此得到點D的坐標;
(3)先延長CA,BE,交于點F,根據直線AC:y=2x-2,設F(x,2x-2),再根據△FAB∽FBC,得到FB2=FA•FC,據此列出關于x 方程,求得點F的坐標,最后根據直線BF的解析式以及二次函數解析式,通過解方程組,求得點E的坐標即可.

解答 解:(1)∵二次函數y=ax2+bx-2的圖象經過點A(1,0)、點B(4,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b-2}\\{0=16a+4b-2}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$,
∴二次函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2;

(2)∵在y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{5}{2}$x-2中,當x=0時,y=-2,
∴點C的坐標為(0,-2),即OC=2,
∵A(1,0)、B(4,0),
∴OA=1,OB=4,AC=$\sqrt{5}$,AB=3,
∴tan∠OCA=tan∠OBC=$\frac{1}{2}$,且BC=2$\sqrt{5}$,
∴∠OCA=∠OBC,
①當△DCA∽△ABC時,$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AB}{CB}$,
即$\frac{DC}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$,
解得DC=$\frac{3}{2}$,
∴OD=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴此時點D的坐標為(0,-$\frac{1}{2}$);
②當△ACD∽△ABC時,$\frac{AC}{DC}$=$\frac{AB}{CB}$,
即$\frac{\sqrt{5}}{DC}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$,
解得DC=$\frac{10}{3}$,
∴OD=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$,
∴此時點D的坐標為(0,$\frac{4}{3}$);

(3)如圖所示,延長CA,BE,交于點F,
設直線AC的解析式為y=kx+b,
把A(1,0)、C(0,-2)代入,可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$,
∴AC:y=2x-2,
設點F的橫坐標為x,則縱坐標為2x-2,即F(x,2x-2),
∵A(1,0),B(4,0),C(0,-2),
∴BF=$\sqrt{(4-x)^{2}+(2x-2)^{2}}$,AF=$\sqrt{(x-1)^{2}+(2x-2)^{2}}$,FC=$\sqrt{{x}^{2}+(2x-2+2)^{2}}$,
∵∠BAF=∠OAC=∠FBC,∠F=∠F,
∴△FAB∽FBC,
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{FB}{FC}$,即FB2=FA•FC,
∴($\sqrt{(4-x)^{2}+(2x-2)^{2}}$)2=$\sqrt{(x-1)^{2}+(2x-2)^{2}}$×$\sqrt{{x}^{2}+(2x-2+2)^{2}}$,
解得x=$\frac{20}{11}$,
∴F($\frac{20}{11}$,$\frac{18}{11}$),
設直線BF的解析式為y=mx+n,則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{18}{11}=\frac{20}{11}m+n}\\{0=4m+n}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$,
∴直線BF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3,
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$,
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{8}}\end{array}\right.$,
∴點E的坐標為($\frac{5}{2}$,$\frac{9}{8}$).

點評 本題屬于相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質、運用待定系數法求函數解析式以及兩點間的距離公式的綜合應用,解決問題的關鍵是運用分類討論思想進行求解.

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