分析 (1)連接BF,在FE上截取FH=BF,連接BH,易證△ABF≌△ACF,即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF,進而可以求證△EBH≌△ABF,即可求得EH=AF,即可求得EF的長;
(2)設∠BAD=∠CAD=α、∠ACE=∠AEC=β,得∠CAE=180°-2β、∠BAE=2α+180-2β=60°,從而知∠BAD=∠BEF,在AF上截取AG=EF,連接BG、BF,證△ABG≌△EBF得AG=EF、BG=BF,即可知△BFG為等邊三角形,可得AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF.
解答 解:(1)連接BF,在FE上截取FH=BF,連接BH,
∵AB=AC,AD是BC中線,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AB=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH為等邊三角形,∠BFC=120°,
∴∠FBH=∠EBA=60°,FC=$\frac{DF}{cos∠DFC}$=6,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$,
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF=10,
∴EF=EH+HF=AF+FC=16;
(2)AF=2DF+EF,
∵△ABE為等邊三角形,AB=AC,
∴AE=AB=AC,
設∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β,
∴∠CAE=180°-2β,
∴∠BAE=2α+180-2β=60°,
∴∠BAD=∠BEF,
在AF上截取AG=EF,連接BG、BF,
在△ABG和△EBF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠BAG=∠BEF}\\{AG=EF}\end{array}\right.$,
∴△ABG≌△EBF(SAS),
∴AG=EF,BG=BF,
∴△BFG為等邊三角形,
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF,
故答案為:AF=2DF+EF.
點評 本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質,本題中求證△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解題的關鍵.
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