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12.如圖1,已知等腰△ABC中AB=AC,AD為BC邊上的中線,以AB為邊向外作等邊△ABE,直線CE與直線AD交于點F
(1)若AF=10,DF=3,試求EF的長;
(2)若以AB為邊向內作等邊△ABE,其它條件均不改變,請用尺規作圖補全圖2(保留作圖痕跡),并直接寫出EF、AF、DF三者的數量關系AF=2DF+EF.

分析 (1)連接BF,在FE上截取FH=BF,連接BH,易證△ABF≌△ACF,即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF,進而可以求證△EBH≌△ABF,即可求得EH=AF,即可求得EF的長;
(2)設∠BAD=∠CAD=α、∠ACE=∠AEC=β,得∠CAE=180°-2β、∠BAE=2α+180-2β=60°,從而知∠BAD=∠BEF,在AF上截取AG=EF,連接BG、BF,證△ABG≌△EBF得AG=EF、BG=BF,即可知△BFG為等邊三角形,可得AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF.

解答 解:(1)連接BF,在FE上截取FH=BF,連接BH,

∵AB=AC,AD是BC中線,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABF和△ACF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴BF=CF,∠ACF=∠ABF,
∵AC=AB=AE,
∴∠ACF=∠AEF,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠BFH=∠EAB=60°,
∴△BFH為等邊三角形,∠BFC=120°,
∴∠FBH=∠EBA=60°,FC=$\frac{DF}{cos∠DFC}$=6,
∴∠ABF=∠EBH,
在△EBH和△ABF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$,
∴△EBH≌△ABF(SAS),
∴EH=AF=10,
∴EF=EH+HF=AF+FC=16;

(2)AF=2DF+EF,

∵△ABE為等邊三角形,AB=AC,
∴AE=AB=AC,
設∠BAD=∠CAD=α,∠ACE=∠AEC=β,
∴∠CAE=180°-2β,
∴∠BAE=2α+180-2β=60°,
∴∠BAD=∠BEF,
在AF上截取AG=EF,連接BG、BF,
 在△ABG和△EBF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠BAG=∠BEF}\\{AG=EF}\end{array}\right.$,
∴△ABG≌△EBF(SAS),
∴AG=EF,BG=BF,
∴△BFG為等邊三角形,
∴AF=AG+GF=BF+EF=2DF+EF,
故答案為:AF=2DF+EF.

點評 本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質,本題中求證△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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2.如圖,在平面直角坐標系內,已知點A(2,2),B(-6,-4),C(2,-4).
(1)求△ABC的外接圓的圓心點M的坐標;
(2)求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長.

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3.在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=ax2+bx-2的圖象經過點A(1,0)、點B(4,0),且與y軸交于點C.
(1)求二次函數解析式;
(2)若點D在y軸上,以D、A、C為頂點的三角形與△ABC相似,求點D的坐標;
(3)若點E位于x軸上方的拋物線上,且∠EBC=∠OAC,求點E的坐標.

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20.某商場經銷甲、乙兩種商品,甲種商品每件進價15元,售價20元;乙種商品每件進價35元,售價45元,若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件恰好用去2700元.
打折前一次性購物總金額優惠措施
不超過300元不優惠
超過300元且不超過400元售價打九折
超過400元售價打八折
(1)求能購進甲、乙兩種商品各多少件?
(2)設甲商品購進x件,售完此兩種商品總利潤為y元,寫出y與x的函數關系式;
(3)在“五•一”黃金周期間,該商場對甲、乙兩種商品進行如下優惠促銷的活動.按此優惠條件,若小王第一天只購買甲種商品一次性付款200元,第二天只購買乙種商品打折的一次性付款324元,那么這兩天他在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件?(通過計算求出所有符合要求的結果)

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7.探索新知:
如圖1,射線OC在∠AOB的內部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.
(1)一個角的平分線是這個角的“巧分線”;(填“是”或“不是”)
(2)如圖2,若∠MPN=α,且射線PQ是∠MPN的“巧分線”,則∠MPQ=$\frac{1}{3}$α或$\frac{2}{3}$α;(用含α的代數式表示出所有可能的結果)
深入研究:
如圖2,若∠MPN=60°,且射線PQ繞點P從PN位置開始,以每秒10°的速度逆時針旋轉,當PQ與PN成180°時停止旋轉,旋轉的時間為t秒.
(3)當t為何值時,射線PM是∠QPN的“巧分線”;
(4)若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉,并與PQ同時停止,請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值.

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17.如圖1,直線l:y=mx+n交x軸,y軸于點A,B,拋物線與x軸交于點C、D,對稱軸經過點A,頂點F的縱坐標為-3.CE⊥x軸交直線l于點E(-5,-$\frac{3}{2}$),tan∠BAD=$\frac{1}{2}$.
(1)求直線l與拋物線的表達式;
(2)點P是拋物線一動點,當S△CEP=3時,求點P的坐標;
(3)點M是x軸上一點,點N是在x軸下方拋物線一點,問是否存在這樣點M,以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫點M的坐標,若不存在,請說明理由.

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4.探索:
(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1;

(1)試求26+25+24+23+22+2+1的值
(2)判斷22013+22012+22011+…+22+2+1的值的個位數字是幾.

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1.如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=5,tan∠DBC=$\frac{3}{4}$.點E為線段BD上任意一點(點E與點B,D不重合),過點E作EF∥CD,與BC相交于點F,連接CE.設BE=x,y=$\frac{{{S_{△ECF}}}}{{{S_{△BCD}}}}$.

(1)求BD的長;
(2)如果BC=BD,當△DCE是等腰三角形時,求x的值;
(3)如果BC=10,求y關于x的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

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11.計算:
(1)(3$\sqrt{18}$-4$\sqrt{\frac{1}{2}}$)÷$\sqrt{32}$
(2)(π-2)0-|$\root{3}{-8}$+$\sqrt{2}$|×(-$\frac{2}{\sqrt{8}}$)

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