Question

4．探索：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1；
…
（1）試求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值
（2）判斷2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1的值的個(gè)位數(shù)字是幾．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出規(guī)律（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，利用所得規(guī)律將2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．

解答 解：（1）由題意知，（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1，
∴2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=（2-1）×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）
=2⁷-1
=128-1
=127；

（2）2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1
=（2-1）×（2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2²+2+1）
=2²⁰¹⁴-1，
∵2ⁿ的個(gè)位數(shù)字分別為2，4，8，6，即4次一循環(huán)，且2014÷4=503…2，
∵2²⁰¹⁴的個(gè)位數(shù)字是4，
∴2²⁰¹⁴-1的個(gè)位數(shù)字是3，
∴2²⁰¹³+2²⁰¹²+2²⁰¹¹+…+2+1的個(gè)位數(shù)字是3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律和尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1及2ⁿ的個(gè)位數(shù)字分別為2，4，8，6，即4次一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．