Question

2．在△ABC中，∠C＞∠B．
（1）如圖①，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，證明：∠EAD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
（2）如圖②，AE平分∠BAC，F為AE上的一點，且FD⊥BC于點D，這時∠EFD與∠B、∠C有何數量關系？請說明理由；
（3）如圖③，AE平分∠BAC，F為AE延長線上的一點，FD⊥BC于點D，請你寫出這時∠AFD與∠B、∠C之間的數量關系（只寫結論，不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）由圖不難發現∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根據三角形的內角和定理及其推論結合角平分線的定義分別用結論中出現的角替換∠EAC和∠DAC．
（2）（2）由角平分線的性質和三角形的內角和得出∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），外角的性質得出∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形內角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．

解答 證明：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$[180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$[180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

（2）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）

（3）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

點評 本題主要考查了三角形的內角和定理，綜合利用角平分線的性質和三角形內角和定理是解答此題的關鍵．