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1.如圖,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=5,tan∠DBC=$\frac{3}{4}$.點E為線段BD上任意一點(點E與點B,D不重合),過點E作EF∥CD,與BC相交于點F,連接CE.設BE=x,y=$\frac{{{S_{△ECF}}}}{{{S_{△BCD}}}}$.

(1)求BD的長;
(2)如果BC=BD,當△DCE是等腰三角形時,求x的值;
(3)如果BC=10,求y關于x的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

分析 (1)過A作AH⊥BD于H,再根據AD∥BC,AB=AD=5,可得∠ABD=∠ADB=∠DBC,BH=HD,再根據tan∠ABD=$\frac{3}{4}$,計算出BH=DH=4,進而得到BD=8;
(2)分兩種情況用銳角三角函數計算即可得出結論.
(3)首先利用平行線的性質得出△FEB∽△CDB,即可得出y與x的函數關系式;

解答 解:(1)如圖1,過A作AH⊥BD于H,
∵AD∥BC,AB=AD=5,
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC,BH=HD,
在Rt△ABH中,
∵tan∠ABD=tan∠DBC=$\frac{3}{4}$,
∴cos∠ABD=$\frac{BH}{AB}=\frac{4}{5}$,
∴BH=DH=4,
∴BD=8;

(2)∵△DCE是等腰三角形,且BC=BD=8,
∴①如圖2,當CD=DE時,即:CD=DE=BD-BE=8-x,
過點D作DG⊥BC于G,
在Rt△BDG中,tan∠DBC=$\frac{3}{4}$,BD=8,
∴DG=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{24}{5}$,BG=$\frac{4}{5}$BD=$\frac{32}{5}$,
∴CG=8-BG=$\frac{8}{5}$,
在Rt△CDG中,根據勾股定理得,DG2+CG2=CD2
∴($\frac{24}{5}$)2+($\frac{8}{5}$)2=(8-x)2
∴x=8+$\frac{8\sqrt{10}}{5}$(舍)或x=8-$\frac{8\sqrt{10}}{5}$,
②如圖3,當CE=CD時,
過點C作CG⊥BD,
∴DG=EG=$\frac{1}{2}$DE,
在Rt△BCG中,BC=8,tan∠DBC=$\frac{3}{4}$,
∴BG=$\frac{32}{5}$,
∴DG=BD-BG=$\frac{8}{5}$,
∴x=BE=BD-DE=BD-2DG=$\frac{24}{5}$.
(3)如圖4,過點D作DG⊥BC于G,
在Rt△BDG中,tan∠DBC=$\frac{3}{4}$,BD=8,
∴DG=$\frac{24}{5}$,BG=$\frac{32}{5}$,
∴CG=BC-BG=$\frac{18}{5}$,
在Rt△CDG中,根據勾股定理得,CD=6,
在△BCD中,BD=8,BC=10,CD=6,
∴△BCD是直角三角形,
∵EF∥CD,
∴∠BEF=∠BDC=90°,
在R△BEF中,tan∠DBC=$\frac{3}{4}$,BE=x,
∴BF=$\frac{5}{4}$x
∵BC=10,
∴FC=10-$\frac{5}{4}$x,
∴$\frac{{S}_{△FEC}}{{S}_{△EFB}}=\frac{FC}{BF}$=$\frac{10-\frac{5}{4}x}{\frac{5}{4}x}$,
∵EF∥DC,
∴△FEB∽△CDB,
∴$\frac{{S}_{△FEB}}{{S}_{△BDC}}=(\frac{BF}{BC})^{2}$=($\frac{\frac{5}{4}x}{10}$)2
∴$\frac{{S}_{△FEC}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{10-\frac{5}{4}x}{\frac{5}{4}x}$•($\frac{\frac{5}{4}x}{10}$)2=-$\frac{1}{64}$x2+$\frac{1}{8}$x(0<x<8)

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了銳角三角函數的定義,等腰三角形的性質,勾股定理,相似三角形的性質和判定,同高的三角形的面積的比等于底的比,分類討論是解本題的關鍵,是一道比較典型的中考常考題.

練習冊系列答案
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