Question

1．如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$．點E為線段BD上任意一點（點E與點B，D不重合），過點E作EF∥CD，與BC相交于點F，連接CE．設BE=x，y=$\frac{{{S_{△ECF}}}}{{{S_{△BCD}}}}$．

（1）求BD的長；
（2）如果BC=BD，當△DCE是等腰三角形時，求x的值；
（3）如果BC=10，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥BD于H，再根據AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根據tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，計算出BH=DH=4，進而得到BD=8；
（2）分兩種情況用銳角三角函數計算即可得出結論．
（3）首先利用平行線的性質得出△FEB∽△CDB，即可得出y與x的函數關系式；

解答 解：（1）如圖1，過A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，
∴cos∠ABD=$\frac{BH}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；

（2）∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，
∴①如圖2，當CD=DE時，即：CD=DE=BD-BE=8-x，
過點D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，BD=8，
∴DG=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{4}{5}$BD=$\frac{32}{5}$，
∴CG=8-BG=$\frac{8}{5}$，
在Rt△CDG中，根據勾股定理得，DG²+CG²=CD²，
∴（$\frac{24}{5}$）²+（$\frac{8}{5}$）²=（8-x）²，
∴x=8+$\frac{8\sqrt{10}}{5}$（舍）或x=8-$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
②如圖3，當CE=CD時，
過點C作CG⊥BD，
∴DG=EG=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，
∴BG=$\frac{32}{5}$，
∴DG=BD-BG=$\frac{8}{5}$，
∴x=BE=BD-DE=BD-2DG=$\frac{24}{5}$．
（3）如圖4，過點D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，BD=8，
∴DG=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{32}{5}$，
∴CG=BC-BG=$\frac{18}{5}$，
在Rt△CDG中，根據勾股定理得，CD=6，
在△BCD中，BD=8，BC=10，CD=6，
∴△BCD是直角三角形，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠BDC=90°，
在R△BEF中，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，BE=x，
∴BF=$\frac{5}{4}$x
∵BC=10，
∴FC=10-$\frac{5}{4}$x，
∴$\frac{{S}_{△FEC}}{{S}_{△EFB}}=\frac{FC}{BF}$=$\frac{10-\frac{5}{4}x}{\frac{5}{4}x}$，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴$\frac{{S}_{△FEB}}{{S}_{△BDC}}=（\frac{BF}{BC}）^{2}$=（$\frac{\frac{5}{4}x}{10}$）²，
∴$\frac{{S}_{△FEC}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{10-\frac{5}{4}x}{\frac{5}{4}x}$•（$\frac{\frac{5}{4}x}{10}$）²=-$\frac{1}{64}$x²+$\frac{1}{8}$x（0＜x＜8）

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了銳角三角函數的定義，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，同高的三角形的面積的比等于底的比，分類討論是解本題的關鍵，是一道比較典型的中考常考題．