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6.如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=ax-1(a≠0)的圖象與x軸交于點C,與y軸交于點D,與反比例函數y=$\frac{k}{x}$(k≠0)的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點,點B的坐標是(3,m),連接OB,tan∠BOD=$\frac{3}{4}$.
(1)求m的值和一次函數的解析式;
(2)在y軸上找一點P,使得△ACP的面積是△AOB的面積的3倍,求出點P的坐標.

分析 (1)過點B作BE⊥y軸于點E,在Rt△BOE中,根據已知的三角函數值,得到點B的坐標,代入一次函數解析式中求出一次函數的解析式;
(2)把點B的坐標代入反比例函數解析式中得到反比例函數的解析式,與一次函數解析式聯立求出點A的坐標,再求出OC的長,最后利用三角形的面積公式求出△AOC與△BOC的面積,相加得到△AOB的面積,那么S△ACP=3S△AOB.然后分三種情況進行討論:①點P在x軸上方;②點P在線段OD上;③點P在點D下方.

解答 解:(1)過點B作BE⊥y軸于點E,
在Rt△BOE中,∵tan∠BOE=$\frac{BE}{OE}$=$\frac{3}{4}$,點B的坐標是(3,m),
∴B(3,-4),m=-4,
把B(3,-4)代入一次函數y=ax-1中,
得3a-1=-4,解得a=-1,
∴一次函數的解析式為y=-x-1;

(2)把B(3,-4)代入反比例函數y=$\frac{k}{x}$中,
解得:k=-12,
則反比例函數的解析式為y=-$\frac{12}{x}$.
將y=-x-1代入y=-$\frac{12}{x}$,得-x-1=-$\frac{12}{x}$,
整理得,x2+x-12=0,
解得x1=3,x2=-4,
當x1=3時,y1=-4,
當x2=-4時,y2=3,
∴A(-4,3).
∵一次函數y=-x-1(a≠0)的圖象與x軸交于點C,
∴令y=0,得x=-1,∴C(-1,0),OC=1,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×1×4=3.5,
∴S△ACP=3S△AOB=10.5.
設點P的坐標為(0,y).
①如果點P在x軸上方,過點A作AM⊥x軸于M,
∵S△ACP=S梯形AMOP-S△ACM-S△OCP
∴$\frac{1}{2}$(3+y)×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×y=10.5,
解得y=6,
∴P(0,6);
②如果點P在線段OD上,
∵S△ACP<S△AOD=$\frac{1}{2}$×1×4=2<10.5,
∴點P不可能在線段OD上;
③如果點P在點D下方,過點A作AN⊥y軸于N,
∵S△ACP=S△APN-S△OCP-S梯形ONAC
∴$\frac{1}{2}$(3-y)×4-$\frac{1}{2}$×1×(-y)-$\frac{1}{2}$(1+4)×3=10.5,
解得y=-8,
∴P(0,-8).
綜上所述,所求點P的坐標為(0,6)或(0,-8).

點評 此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題,三角形函數定義,以及三角形的面積公式的運用,用待定系數法確定函數的解析式,是常用的一種解題方法.同學們要熟練掌握這種方法.

練習冊系列答案
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