Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=ax-1（a≠0）的圖象與x軸交于點C，與y軸交于點D，與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點，點B的坐標是（3，m），連接OB，tan∠BOD=$\frac{3}{4}$．
（1）求m的值和一次函數的解析式；
（2）在y軸上找一點P，使得△ACP的面積是△AOB的面積的3倍，求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥y軸于點E，在Rt△BOE中，根據已知的三角函數值，得到點B的坐標，代入一次函數解析式中求出一次函數的解析式；
（2）把點B的坐標代入反比例函數解析式中得到反比例函數的解析式，與一次函數解析式聯立求出點A的坐標，再求出OC的長，最后利用三角形的面積公式求出△AOC與△BOC的面積，相加得到△AOB的面積，那么S_△ACP=3S_△AOB．然后分三種情況進行討論：①點P在x軸上方；②點P在線段OD上；③點P在點D下方．

解答 解：（1）過點B作BE⊥y軸于點E，
在Rt△BOE中，∵tan∠BOE=$\frac{BE}{OE}$=$\frac{3}{4}$，點B的坐標是（3，m），
∴B（3，-4），m=-4，
把B（3，-4）代入一次函數y=ax-1中，
得3a-1=-4，解得a=-1，
∴一次函數的解析式為y=-x-1；

（2）把B（3，-4）代入反比例函數y=$\frac{k}{x}$中，
解得：k=-12，
則反比例函數的解析式為y=-$\frac{12}{x}$．
將y=-x-1代入y=-$\frac{12}{x}$，得-x-1=-$\frac{12}{x}$，
整理得，x²+x-12=0，
解得x₁=3，x₂=-4，
當x₁=3時，y₁=-4，
當x₂=-4時，y₂=3，
∴A（-4，3）．
∵一次函數y=-x-1（a≠0）的圖象與x軸交于點C，
∴令y=0，得x=-1，∴C（-1，0），OC=1，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×1×4=3.5，
∴S_△ACP=3S_△AOB=10.5．
設點P的坐標為（0，y）．
①如果點P在x軸上方，過點A作AM⊥x軸于M，
∵S_△ACP=S_梯形AMOP-S_△ACM-S_△OCP，
∴$\frac{1}{2}$（3+y）×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×y=10.5，
解得y=6，
∴P（0，6）；
②如果點P在線段OD上，
∵S_△ACP＜S_△AOD=$\frac{1}{2}$×1×4=2＜10.5，
∴點P不可能在線段OD上；
③如果點P在點D下方，過點A作AN⊥y軸于N，
∵S_△ACP=S_△APN-S_△OCP-S_梯形ONAC，
∴$\frac{1}{2}$（3-y）×4-$\frac{1}{2}$×1×（-y）-$\frac{1}{2}$（1+4）×3=10.5，
解得y=-8，
∴P（0，-8）．
綜上所述，所求點P的坐標為（0，6）或（0，-8）．

點評 此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，三角形函數定義，以及三角形的面積公式的運用，用待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．