Question

17．如圖1，直線l：y=mx+n交x軸，y軸于點A，B，拋物線與x軸交于點C、D，對稱軸經(jīng)過點A，頂點F的縱坐標(biāo)為-3．CE⊥x軸交直線l于點E（-5，-$\frac{3}{2}$），tan∠BAD=$\frac{1}{2}$．
（1）求直線l與拋物線的表達式；
（2）點P是拋物線一動點，當(dāng)S_△CEP=3時，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M是x軸上一點，點N是在x軸下方拋物線一點，問是否存在這樣點M，以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點A，B坐標(biāo)，利用三角函數(shù)得出m，再利用點E在直線l上，進而確定出m，即可得出直線l的解析式，再用待定系數(shù)法確定出拋物線解析式；
（2）先設(shè)出點P的坐標(biāo)，用面積建立方程即可確定出P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出M，先根據(jù)點M，N的位置得出AM是平行四邊形的對角線，即可得出AM的中點也是BN的中點，確定出點N的坐標(biāo)，用二次函數(shù)關(guān)系式建立方程即可確定出點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，∵直線l：y=mx+n交x軸，y軸于點A，B，
∴B（0，n），A（-$\frac{n}{m}$，0），
∴OB=n，OA=$\frac{n}{m}$，
∵tan∠BAD=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{m}$=2n，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∵點E（-5，-$\frac{3}{2}$），
∴-5m+n=-$\frac{3}{2}$，
∴n=1，
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1；
∴A（-2，0），
∴F（-2，-3），
∵CE⊥x軸，
∴C（-5，0），
∴D（1，0），
設(shè)拋物線的表達式為y=a（x+2）²-3，
∵點D在拋物線上，
∴a（1+2）²-3=0，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的表達式為y=$\frac{1}{3}$（x+2）²-3，
（2）∵E（-5，-$\frac{3}{2}$），
∴CE=$\frac{3}{2}$，設(shè)點P（p，$\frac{1}{3}$（p+2）²-3），
∵S_△CEP=3，
∴$\frac{1}{2}$CE×|p+5|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×|p+5|=3，
∴p=-1或p=-9，
∴P（-1，-$\frac{8}{3}$）或（-9，$\frac{40}{3}$）；
（3）∵以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，且點M在x軸上，點N在x軸下方的拋物線上，
∴AM必是平行四邊形的對角線的交點，
∴BN過線段AM的中點G，設(shè)點M（a，0），
∴G（$\frac{a-2}{2}$，0），N（a-2，-1），
∵點N在拋物線y=$\frac{1}{3}$（x+2）²-3上，
∴$\frac{1}{3}$（a-2+2）²-3=-1，
∴a=±$\sqrt{6}$，
∴M（-$\sqrt{6}$，0）或（$\sqrt{6}$，0）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角函數(shù)，三角形的面積公式，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，是一道中等難度的中考常考題．