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17.如圖1,直線l:y=mx+n交x軸,y軸于點A,B,拋物線與x軸交于點C、D,對稱軸經(jīng)過點A,頂點F的縱坐標(biāo)為-3.CE⊥x軸交直線l于點E(-5,-$\frac{3}{2}$),tan∠BAD=$\frac{1}{2}$.
(1)求直線l與拋物線的表達式;
(2)點P是拋物線一動點,當(dāng)S△CEP=3時,求點P的坐標(biāo);
(3)點M是x軸上一點,點N是在x軸下方拋物線一點,問是否存在這樣點M,以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫點M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

分析 (1)先確定出點A,B坐標(biāo),利用三角函數(shù)得出m,再利用點E在直線l上,進而確定出m,即可得出直線l的解析式,再用待定系數(shù)法確定出拋物線解析式;
(2)先設(shè)出點P的坐標(biāo),用面積建立方程即可確定出P的坐標(biāo);
(3)設(shè)出M,先根據(jù)點M,N的位置得出AM是平行四邊形的對角線,即可得出AM的中點也是BN的中點,確定出點N的坐標(biāo),用二次函數(shù)關(guān)系式建立方程即可確定出點M的坐標(biāo).

解答 解:(1)如圖1,∵直線l:y=mx+n交x軸,y軸于點A,B,
∴B(0,n),A(-$\frac{n}{m}$,0),
∴OB=n,OA=$\frac{n}{m}$,
∵tan∠BAD=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{n}{m}$=2n,
∴m=$\frac{1}{2}$,
∵點E(-5,-$\frac{3}{2}$),
∴-5m+n=-$\frac{3}{2}$,
∴n=1,
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1;
∴A(-2,0),
∴F(-2,-3),
∵CE⊥x軸,
∴C(-5,0),
∴D(1,0),
設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+2)2-3,
∵點D在拋物線上,
∴a(1+2)2-3=0,
∴a=$\frac{1}{3}$,
∴拋物線的表達式為y=$\frac{1}{3}$(x+2)2-3,
(2)∵E(-5,-$\frac{3}{2}$),
∴CE=$\frac{3}{2}$,設(shè)點P(p,$\frac{1}{3}$(p+2)2-3),
∵S△CEP=3,
∴$\frac{1}{2}$CE×|p+5|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×|p+5|=3,
∴p=-1或p=-9,
∴P(-1,-$\frac{8}{3}$)或(-9,$\frac{40}{3}$);
(3)∵以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,且點M在x軸上,點N在x軸下方的拋物線上,
∴AM必是平行四邊形的對角線的交點,
∴BN過線段AM的中點G,設(shè)點M(a,0),
∴G($\frac{a-2}{2}$,0),N(a-2,-1),
∵點N在拋物線y=$\frac{1}{3}$(x+2)2-3上,
∴$\frac{1}{3}$(a-2+2)2-3=-1,
∴a=±$\sqrt{6}$,
∴M(-$\sqrt{6}$,0)或($\sqrt{6}$,0).

點評 此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,三角函數(shù),三角形的面積公式,平行四邊形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線解析式,是一道中等難度的中考常考題.

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