Question

14．某農場擬建一個梯形飼養場ABCD，其中AD，CD分別靠現有墻DM，DN，其余用新墻砌成，墻DM長為9米，墻DN足夠長，兩面墻形成的角度為135°，新墻DE將飼養場隔成△CDE和矩形ABED兩部分．已知新建墻體總長為30米．設AB=x米，梯形飼養場ABCD的面積為S米²．
（1）求S關于x的函數表達式；
（2）當x為何值時，飼料場ABCD的面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據矩形和等腰直角三角形的性質得出AB=DE=CE=x米，AD=BE=30-3x米，再由矩形和三角形的面積公式可得S關于x的函數解析式；
（2）由墻DM長為9米得出x的取值范圍，再將函數解析式配方成頂點式，根據二次函數的性質可得最值情況．

解答 解：（1）∵四邊形ABED是矩形，
∴AB=CE=x米，∠ADE=∠DEC=90°，
∵∠ADC=135°，
∴∠EDC=∠DCE=45°，
∴CE=DE=x米，
∴BE=30-3x米，
∴S=x（30-3x）+$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{5}{2}$x²+30x；

（2）∵30-3x≤9，
∴x≥7，
S=-$\frac{5}{2}$x²+30x=-$\frac{5}{2}$（x-6）²+90，
∵當x＞6時，S隨x的增大而減小，
∴當x=7時，S_max=87.5，
答：當x=7時，飼料場ABCD的面積最大，最大面積為87.5平方米．

點評 本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握矩形和等腰直角三角形的性質得出函數解析式和二次函數的性質是解題的關鍵．