Question

7．如圖，過正方形ABCD頂點B，C的⊙O與AD相切于點P，與AB，CD分別相交于點E，F，連接EF．
（1）求證：PF平分∠BFD；
（2）若tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，DF=$\sqrt{5}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OP、BF、PF．由OP∥CD，推出∠PFD=∠OPF，由OP=OF，推出∠OPF=∠OFP，即可推出∠OFP=∠PFD．
（2）首先證明四邊形BCFE是矩形，推出EF=BC，由tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，設FC=3x，則BC=4x，由BC=DC，可得方程4x=3x+$\sqrt{5}$，解方程即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OP、BF、PF．
∵⊙O與AD相切于點P，
∴PO⊥AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∴OP∥CD，
∴∠PFD=∠OPF，
∵OP=OF，
∴∠OPF=∠OFP，
∴∠OFP=∠PFD，
∴PF平分∠BFD．

（2）解：∵∠C=90°，
∴BF是⊙O的直徑，
∴∠BEF=90°，
∴四邊形BCFE是矩形，
∴EF=BC，
∵tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，設FC=3x，則BC=4x，
∵BC=DC，
∴4x=3x+$\sqrt{5}$，
∴x=$\sqrt{5}$，
∴EF=BC=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查切線的性質、正方形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線（直徑、圓心與切點的連線段等），屬于中考常考題型．