Question

18．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0，c＞0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸l為x=-1，直線y=kx+m經過A，C兩點，與拋物線的對稱軸l交于點D，且AD=2CD，連接BC，BD．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求證：a=-k；
（3）若△BCD是直角三角形，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）設對稱軸x與x軸交點為E，由平行線分線段成比例可求得AE的長，則可求得A點坐標，再利用拋物線的對稱性可求得B點坐標；
（2）把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式，可用a表示出C點的坐標，再由直線AC的解析式可用k表示出C點坐標，則可得到a和k的關系；
（3）用k可表示出C、D的坐標，利用勾股定理可表示出BC²、BD²和CD²，分∠BDC=90°和∠BCD=90°兩種情況可分別求得k的值，可求得k的值，可求得a的值，則可求出拋物線的解析式．

解答 解：
（1）如圖，設對稱軸l與x軸的交點為E，
∵l∥y軸，
∴$\frac{AE}{BO}$=$\frac{AD}{DC}$，且AD=2DC，
∴AE=2EO，
∵對稱軸l為x=1，
∴E（-1，0），則EO=1，
∴AE=2，則OA=3，
∴A（-3，0），
∵A、B關于對稱軸l對稱，
∴BE=AE=2，則OB=1，
∴B（1，0）；

（2）證明：∵拋物線經過A（-3，0）和B（1，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1），即y=ax²+2ax-3a，
∵拋物線與y軸交于點C，
∴C（0，-3a），
∵直線y=kx+m經過A、C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=3k}\\{0=-3k+m}\end{array}\right.$，解得m=3k，
∴C（0，3k），
∴-3a=3k，即a=-k；

（3）由（1）、（2）可知B（1，0），C（0，3k），D（-1，2k），
∴BC²=1+9k²，BD²=4+4k²，CD²=1+k²，
∵在Rt△BCO中，∠CBD＜∠CBO＜90°，
∴∠CBD為銳角，
∴只可能當∠BCD或∠BDC為直角時，△BCD才是直角三角形，
①當∠BCD為直角時，則有BC²+CD²=BD²，
∴1+9k²+1+k²=4+4k²，即k²=$\frac{1}{3}$，
∵k＞0，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a=-k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
②當∠BDC為直角時，則有BD²+CD²=BC²，
∴4+4k²+1+k²=1+9k²，即k²=1，
∵k＞0，
∴k=1，
∴a=-k=-1，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3；
綜上可知拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-x²-2x+3．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及平行線分線段成比例、待定系數法、勾股定理、二次函數的性質及分類討論思想等知識．在（1）中利用平行線分線段成比例求得AE的長是解題的關鍵，在（2）中分別用a和k表示出C點的坐標是解題的關鍵，在（3）中由勾股定理求得k的值是解題的關鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．