Question

5．已知：如圖，△ABC內接于⊙O，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，D是$\widehat{AC}$上一點（不與點A，C重合），延長CD至點E．
（1）求證：DA平分∠BDE．
（2）若BD⊥AC于點G，OF⊥BC于點F，求證：OF=$\frac{1}{2}$AD．

Answer 1

分析 （1）根據圓內接四邊形的性質得∠ABC+∠ADC=180°，加上∠ADE+∠ADC=180°，則∠ABC=∠ADE，再利用圓周角定理得到∠ADB=∠ABC，所以∠ADE=∠ADB；
（2）作直徑BH，連結HC．如圖，根據垂徑定理得到BF=CF，則可判斷OF是△CBH的中位線，所以OF=$\frac{1}{2}$HC，再利用圓周角定理得到∠BCH=90°，利用等角的余角相等得到∠DBC=∠ACH，則弧CD=弧AH，所以弧AD=弧CH，則AD=CH，于是得到OF=$\frac{1}{2}$AD．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ADB=∠ABC，
∴∠ADE=∠ADB，
∴DA平分∠BDE；
（2）作直徑BH，連結HC．如圖，
∵OF⊥BC，
∴BF=CF，
∵BO=HO，
∴OF是△CBH的中位線，
∴OF=$\frac{1}{2}$HC，
∵BH是直徑，
∴∠BCH=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=∠ACH，
∴弧CD=弧AH，
∴弧AD=弧CH，
∴AD=CH，
OF=$\frac{1}{2}$AD．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．