Question

14．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，∠EPF=90°，給出四個結論：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC．其中成立的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性質可知AP=BP，可判斷①；由條件可證明△AEP≌△CFP，可求得AE=CF，PE=PF，可判斷②③；再利用三角形的面積可判斷④，則可求得答案．

解答 解：
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵P是BC的中點，
∴AP=BP=CP，
∴∠BAP=45°，
∴∠B=∠BAP，故①正確；
∵P是BC中點，且AB=C，
∴AP⊥BC，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=∠APF+∠FPC，
∴∠APE=∠FPC，
在△AEP和△CFP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=CP}\\{∠APE=∠FPC}\end{array}\right.$
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，故②③正確；
∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CFP+S_△APF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，故④正確；
綜上可知成立的有4個，
故選D．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質及等腰直角三角形的性質，證得△AEP≌△CFP是解題的關鍵．